Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53392 / 86160
↖ ↑ ↗
← S 49.181704°
W 33.354492°		 ← 199.65 m → S 49.181704°
W 33.351745°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
S 49.183499°
W 33.354492°		 ← 199.64 m →
39 849 m²		 S 49.183499°
W 33.351745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407352447509766 y=0.657352447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407352447509766 × 217)
    floor (0.407352447509766 × 131072)
    floor (53392.5)     		tx = 53392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657352447509766 × 217)
    floor (0.657352447509766 × 131072)
    floor (86160.5)     		ty = 86160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53392 / 86160 ti = "17/53392/86160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53392/86160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53392 ÷ 217
    53392 ÷ 131072     		x = 0.4073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86160 ÷ 217
    86160 ÷ 131072     		y = 0.6573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58214571} λ = -0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988650617764038))-π/2
    2×atan(0.372078428449863)-π/2
    2×0.356206835479319-π/2
    0.712413670958638-1.57079632675     		φ = -0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53392 KachelY 86160 -0.58214571 -0.85838266 -33.354492 -49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 53393 KachelY 86160 -0.58209777 -0.85838266 -33.351745 -49.181704
    Unten links KachelX 53392 KachelY + 1 86161 -0.58214571 -0.85841399 -33.354492 -49.183499
    Unten rechts KachelX + 1 53393 KachelY + 1 86161 -0.58209777 -0.85841399 -33.351745 -49.183499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85838266--0.85841399) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85838266--0.85841399) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58214571--0.58209777) × cos(-0.85838266) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 199.645292726773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58214571--0.58209777) × cos(-0.85841399) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.653638592963854 × 6371000     		du = 199.638050948875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85838266)-sin(-0.85841399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.653638592963854)×R²
    abs(-0.58209777--0.58214571)×2.37104374297692e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37104374297692e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37104374297692e-05×40589641000000     		ar = 39849.1624729016m²