Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5344 / 1376
↖ ↑ ↗
← N 75.845168°
E 54.843750°		 ← 1 194.96 m → N 75.845168°
E 54.887695°		 →
↑
1 195.39 m
↓
↑
1 195.39 m
↓
N 75.834418°
E 54.843750°		 ← 1 195.85 m →
1 428 973 m²		 N 75.834418°
E 54.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65240478515625 y=0.16802978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65240478515625 × 213)
    floor (0.65240478515625 × 8192)
    floor (5344.5)     		tx = 5344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16802978515625 × 213)
    floor (0.16802978515625 × 8192)
    floor (1376.5)     		ty = 1376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5344 / 1376 ti = "13/5344/1376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5344/1376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5344 ÷ 213
    5344 ÷ 8192     		x = 0.65234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1376 ÷ 213
    1376 ÷ 8192     		y = 0.16796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65234375 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16796875 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95720401} λ = 0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08621387146484))-π/2
    2×atan(8.05436251093064)-π/2
    2×1.44727211976903-π/2
    2.89454423953806-1.57079632675     		φ = 1.32374791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32374791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.845168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5344 KachelY 1376 0.95720401 1.32374791 54.843750 75.845168
    Oben rechts KachelX + 1 5345 KachelY 1376 0.95797100 1.32374791 54.887695 75.845168
    Unten links KachelX 5344 KachelY + 1 1377 0.95720401 1.32356028 54.843750 75.834418
    Unten rechts KachelX + 1 5345 KachelY + 1 1377 0.95797100 1.32356028 54.887695 75.834418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32374791-1.32356028) × R
    0.000187630000000105 × 6371000     		dl = 1195.39073000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32374791-1.32356028) × R
    0.000187630000000105 × 6371000     		dr = 1195.39073000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95720401-0.95797100) × cos(1.32374791) × R
    0.000766990000000023 × 0.244543060104282 × 6371000     		do = 1194.95802231567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95720401-0.95797100) × cos(1.32356028) × R
    0.000766990000000023 × 0.244724989057924 × 6371000     		du = 1195.8470169269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32374791)-sin(1.32356028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244543060104282-0.244724989057924)×R²
    abs(0.95797100-0.95720401)×0.000181928953642302×R²
    0.000766990000000023×0.000181928953642302×6371000²
    0.000766990000000023×0.000181928953642302×40589641000000     		ar = 1428973.0947661m²