Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53440 / 85952
↖ ↑ ↗
← S 48.806863°
W 33.222656°		 ← 201.15 m → S 48.806863°
W 33.219910°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
S 48.808673°
W 33.222656°		 ← 201.15 m →
40 471 m²		 S 48.808673°
W 33.219910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407718658447266 y=0.655765533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407718658447266 × 217)
    floor (0.407718658447266 × 131072)
    floor (53440.5)     		tx = 53440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655765533447266 × 217)
    floor (0.655765533447266 × 131072)
    floor (85952.5)     		ty = 85952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53440 / 85952 ti = "17/53440/85952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53440/85952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53440 ÷ 217
    53440 ÷ 131072     		x = 0.40771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85952 ÷ 217
    85952 ÷ 131072     		y = 0.65576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65576171875 × 2 - 1) × π
    -0.3115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.978679742643066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57984474} λ = -0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978679742643066))-π/2
    2×atan(0.375806933333335)-π/2
    2×0.359477930923034-π/2
    0.718955861846068-1.57079632675     		φ = -0.85184046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85184046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.806863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53440 KachelY 85952 -0.57984474 -0.85184046 -33.222656 -48.806863
    Oben rechts KachelX + 1 53441 KachelY 85952 -0.57979680 -0.85184046 -33.219910 -48.806863
    Unten links KachelX 53440 KachelY + 1 85953 -0.57984474 -0.85187204 -33.222656 -48.808673
    Unten rechts KachelX + 1 53441 KachelY + 1 85953 -0.57979680 -0.85187204 -33.219910 -48.808673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85184046--0.85187204) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dl = 201.196180000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85184046--0.85187204) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dr = 201.196180000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57984474--0.57979680) × cos(-0.85184046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658599327353307 × 6371000     		do = 201.153186920254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57984474--0.57979680) × cos(-0.85187204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658575563270551 × 6371000     		du = 201.145928757693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85184046)-sin(-0.85187204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658599327353307-0.658575563270551)×R²
    abs(-0.57979680--0.57984474)×2.37640827557284e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37640827557284e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37640827557284e-05×40589641000000     		ar = 40470.5226492429m²