Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53440 / 86208
↖ ↑ ↗
← S 49.267804°
W 33.222656°		 ← 199.30 m → S 49.267804°
W 33.219910°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
S 49.269596°
W 33.222656°		 ← 199.29 m →
39 716 m²		 S 49.269596°
W 33.219910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407718658447266 y=0.657718658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407718658447266 × 217)
    floor (0.407718658447266 × 131072)
    floor (53440.5)     		tx = 53440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657718658447266 × 217)
    floor (0.657718658447266 × 131072)
    floor (86208.5)     		ty = 86208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53440 / 86208 ti = "17/53440/86208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53440/86208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53440 ÷ 217
    53440 ÷ 131072     		x = 0.40771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86208 ÷ 217
    86208 ÷ 131072     		y = 0.65771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65771484375 × 2 - 1) × π
    -0.3154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.990951588945801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57984474} λ = -0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.990951588945801))-π/2
    2×atan(0.371223270932346)-π/2
    2×0.355455461087854-π/2
    0.710910922175708-1.57079632675     		φ = -0.85988540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85988540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.267804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53440 KachelY 86208 -0.57984474 -0.85988540 -33.222656 -49.267804
    Oben rechts KachelX + 1 53441 KachelY 86208 -0.57979680 -0.85988540 -33.219910 -49.267804
    Unten links KachelX 53440 KachelY + 1 86209 -0.57984474 -0.85991668 -33.222656 -49.269596
    Unten rechts KachelX + 1 53441 KachelY + 1 86209 -0.57979680 -0.85991668 -33.219910 -49.269596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85988540--0.85991668) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85988540--0.85991668) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57984474--0.57979680) × cos(-0.85988540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652524312637287 × 6371000     		do = 199.297721055104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57984474--0.57979680) × cos(-0.85991668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652500609341636 × 6371000     		du = 199.290481458489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85988540)-sin(-0.85991668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652524312637287-0.652500609341636)×R²
    abs(-0.57979680--0.57984474)×2.37032956504901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37032956504901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37032956504901e-05×40589641000000     		ar = 39716.3010569109m²