Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53504 / 86273
↖ ↑ ↗
← S 49.384161°
W 33.046875°		 ← 198.83 m → S 49.384161°
W 33.044128°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
S 49.385949°
W 33.046875°		 ← 198.82 m →
39 534 m²		 S 49.385949°
W 33.044128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408206939697266 y=0.658214569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408206939697266 × 217)
    floor (0.408206939697266 × 131072)
    floor (53504.5)     		tx = 53504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658214569091797 × 217)
    floor (0.658214569091797 × 131072)
    floor (86273.5)     		ty = 86273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53504 / 86273 ti = "17/53504/86273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53504/86273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53504 ÷ 217
    53504 ÷ 131072     		x = 0.408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86273 ÷ 217
    86273 ÷ 131072     		y = 0.658210754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408203125 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658210754394531 × 2 - 1) × π
    -0.316421508789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.994067487421104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57677678} λ = -0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994067487421104))-π/2
    2×atan(0.370068377108791)-π/2
    2×0.354440061253037-π/2
    0.708880122506074-1.57079632675     		φ = -0.86191620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86191620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.384161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53504 KachelY 86273 -0.57677678 -0.86191620 -33.046875 -49.384161
    Oben rechts KachelX + 1 53505 KachelY 86273 -0.57672884 -0.86191620 -33.044128 -49.384161
    Unten links KachelX 53504 KachelY + 1 86274 -0.57677678 -0.86194741 -33.046875 -49.385949
    Unten rechts KachelX + 1 53505 KachelY + 1 86274 -0.57672884 -0.86194741 -33.044128 -49.385949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86191620--0.86194741) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86191620--0.86194741) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57677678--0.57672884) × cos(-0.86191620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65098409331682 × 6371000     		do = 198.827298429388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57677678--0.57672884) × cos(-0.86194741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65096040175807 × 6371000     		du = 198.820062417525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86191620)-sin(-0.86194741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65098409331682-0.65096040175807)×R²
    abs(-0.57672884--0.57677678)×2.36915587500386e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36915587500386e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36915587500386e-05×40589641000000     		ar = 39533.8839005761m²