Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53512 / 86280
↖ ↑ ↗
← S 49.396675°
W 33.024902°		 ← 198.78 m → S 49.396675°
W 33.022156°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
S 49.398463°
W 33.024902°		 ← 198.77 m →
39 511 m²		 S 49.398463°
W 33.022156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408267974853516 y=0.658267974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408267974853516 × 217)
    floor (0.408267974853516 × 131072)
    floor (53512.5)     		tx = 53512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658267974853516 × 217)
    floor (0.658267974853516 × 131072)
    floor (86280.5)     		ty = 86280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53512 / 86280 ti = "17/53512/86280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53512/86280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53512 ÷ 217
    53512 ÷ 131072     		x = 0.40826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86280 ÷ 217
    86280 ÷ 131072     		y = 0.65826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57639328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.3165283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.994403045718445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57639328} λ = -0.57639328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994403045718445))-π/2
    2×atan(0.369944218426672)-π/2
    2×0.354330853606721-π/2
    0.708661707213442-1.57079632675     		φ = -0.86213462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57639328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86213462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.396675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53512 KachelY 86280 -0.57639328 -0.86213462 -33.024902 -49.396675
    Oben rechts KachelX + 1 53513 KachelY 86280 -0.57634534 -0.86213462 -33.022156 -49.396675
    Unten links KachelX 53512 KachelY + 1 86281 -0.57639328 -0.86216582 -33.024902 -49.398463
    Unten rechts KachelX + 1 53513 KachelY + 1 86281 -0.57634534 -0.86216582 -33.022156 -49.398463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86213462--0.86216582) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.775200000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86213462--0.86216582) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.775200000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57639328--0.57634534) × cos(-0.86213462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650818277052435 × 6371000     		do = 198.776653874135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57639328--0.57634534) × cos(-0.86216582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650794588649184 × 6371000     		du = 198.769418826042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86213462)-sin(-0.86216582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650818277052435-0.650794588649184)×R²
    abs(-0.57634534--0.57639328)×2.36884032513984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36884032513984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36884032513984e-05×40589641000000     		ar = 39511.1500583412m²