Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 536 / 1560
↖ ↑ ↗
← N 39.368279°
W132.890625°		 ← 7 555.35 m → N 39.368279°
W132.802734°		 →
↑
7 559 m
↓
↑
7 559 m
↓
N 39.300299°
W132.890625°		 ← 7 562.70 m →
57 138 663 m²		 N 39.300299°
W132.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1309814453125 y=0.3809814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1309814453125 × 212)
    floor (0.1309814453125 × 4096)
    floor (536.5)     		tx = 536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3809814453125 × 212)
    floor (0.3809814453125 × 4096)
    floor (1560.5)     		ty = 1560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 536 / 1560 ti = "12/536/1560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/536/1560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 536 ÷ 212
    536 ÷ 4096     		x = 0.130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1560 ÷ 212
    1560 ÷ 4096     		y = 0.380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130859375 × 2 - 1) × π
    -0.73828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31937895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380859375 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31937895} λ = -2.31937895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748582624466797))-π/2
    2×atan(2.11400155805821)-π/2
    2×1.12895120938772-π/2
    2.25790241877543-1.57079632675     		φ = 0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31937895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 536 KachelY 1560 -2.31937895 0.68710609 -132.890625 39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 537 KachelY 1560 -2.31784497 0.68710609 -132.802734 39.368279
    Unten links KachelX 536 KachelY + 1 1561 -2.31937895 0.68591962 -132.890625 39.300299
    Unten rechts KachelX + 1 537 KachelY + 1 1561 -2.31784497 0.68591962 -132.802734 39.300299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68710609-0.68591962) × R
    0.00118647000000005 × 6371000     		dl = 7559.00037000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68710609-0.68591962) × R
    0.00118647000000005 × 6371000     		dr = 7559.00037000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31937895--2.31784497) × cos(0.68710609) × R
    0.00153398000000005 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 7555.34800363774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31937895--2.31784497) × cos(0.68591962) × R
    0.00153398000000005 × 0.773836900955659 × 6371000     		du = 7562.69764814867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68710609)-sin(0.68591962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.773836900955659)×R²
    abs(-2.31784497--2.31937895)×0.000752036693263736×R²
    0.00153398000000005×0.000752036693263736×6371000²
    0.00153398000000005×0.000752036693263736×40589641000000     		ar = 57138663.0406648m²