Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5360 / 1328
↖ ↑ ↗
← N 76.351896°
E 55.546875°		 ← 1 153.01 m → N 76.351896°
E 55.590820°		 →
↑
1 153.41 m
↓
↑
1 153.41 m
↓
N 76.341523°
E 55.546875°		 ← 1 153.87 m →
1 330 381 m²		 N 76.341523°
E 55.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65435791015625 y=0.16217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65435791015625 × 213)
    floor (0.65435791015625 × 8192)
    floor (5360.5)     		tx = 5360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16217041015625 × 213)
    floor (0.16217041015625 × 8192)
    floor (1328.5)     		ty = 1328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5360 / 1328 ti = "13/5360/1328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5360/1328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5360 ÷ 213
    5360 ÷ 8192     		x = 0.654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1328 ÷ 213
    1328 ÷ 8192     		y = 0.162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654296875 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.96947586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162109375 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12302941037305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96947586} λ = 0.96947586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12302941037305))-π/2
    2×atan(8.35641418943236)-π/2
    2×1.45169415482272-π/2
    2.90338830964543-1.57079632675     		φ = 1.33259198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96947586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33259198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.351896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5360 KachelY 1328 0.96947586 1.33259198 55.546875 76.351896
    Oben rechts KachelX + 1 5361 KachelY 1328 0.97024285 1.33259198 55.590820 76.351896
    Unten links KachelX 5360 KachelY + 1 1329 0.96947586 1.33241094 55.546875 76.341523
    Unten rechts KachelX + 1 5361 KachelY + 1 1329 0.97024285 1.33241094 55.590820 76.341523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33259198-1.33241094) × R
    0.000181039999999966 × 6371000     		dl = 1153.40583999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33259198-1.33241094) × R
    0.000181039999999966 × 6371000     		dr = 1153.40583999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96947586-0.97024285) × cos(1.33259198) × R
    0.000766990000000023 × 0.235958057996113 × 6371000     		do = 1153.00746711947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96947586-0.97024285) × cos(1.33241094) × R
    0.000766990000000023 × 0.236133982145325 × 6371000     		du = 1153.86711929415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33259198)-sin(1.33241094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235958057996113-0.236133982145325)×R²
    abs(0.97024285-0.96947586)×0.00017592414921247×R²
    0.000766990000000023×0.00017592414921247×6371000²
    0.000766990000000023×0.00017592414921247×40589641000000     		ar = 1330381.31369006m²