Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5375 / 1279
↖ ↑ ↗
← N 76.850817°
E 56.206054°		 ← 1 111.62 m → N 76.850817°
E 56.250000°		 →
↑
1 111.99 m
↓
↑
1 111.99 m
↓
N 76.840817°
E 56.206054°		 ← 1 112.45 m →
1 236 571 m²		 N 76.840817°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65618896484375 y=0.15618896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65618896484375 × 213)
    floor (0.65618896484375 × 8192)
    floor (5375.5)     		tx = 5375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15618896484375 × 213)
    floor (0.15618896484375 × 8192)
    floor (1279.5)     		ty = 1279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5375 / 1279 ti = "13/5375/1279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5375/1279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5375 ÷ 213
    5375 ÷ 8192     		x = 0.6561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1279 ÷ 213
    1279 ÷ 8192     		y = 0.1561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    0.312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98098071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1561279296875 × 2 - 1) × π
    0.687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16061193967517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98098071} λ = 0.98098071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16061193967517))-π/2
    2×atan(8.67644549549794)-π/2
    2×1.4560480594354-π/2
    2.91209611887079-1.57079632675     		φ = 1.34129979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98098071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.206054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34129979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.850817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5375 KachelY 1279 0.98098071 1.34129979 56.206054 76.850817
    Oben rechts KachelX + 1 5376 KachelY 1279 0.98174770 1.34129979 56.250000 76.850817
    Unten links KachelX 5375 KachelY + 1 1280 0.98098071 1.34112525 56.206054 76.840817
    Unten rechts KachelX + 1 5376 KachelY + 1 1280 0.98174770 1.34112525 56.250000 76.840817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34129979-1.34112525) × R
    0.000174540000000167 × 6371000     		dl = 1111.99434000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34129979-1.34112525) × R
    0.000174540000000167 × 6371000     		dr = 1111.99434000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98098071-0.98174770) × cos(1.34129979) × R
    0.000766990000000023 × 0.227487289458643 × 6371000     		do = 1111.61511349998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98098071-0.98174770) × cos(1.34112525) × R
    0.000766990000000023 × 0.227657249737119 × 6371000     		du = 1112.44562326032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34129979)-sin(1.34112525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227487289458643-0.227657249737119)×R²
    abs(0.98174770-0.98098071)×0.000169960278475434×R²
    0.000766990000000023×0.000169960278475434×6371000²
    0.000766990000000023×0.000169960278475434×40589641000000     		ar = 1236571.47868578m²