Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5375 / 3327
↖ ↑ ↗
← N 31.989442°
E 56.206054°		 ← 4 144.46 m → N 31.989442°
E 56.250000°		 →
↑
4 145.35 m
↓
↑
4 145.35 m
↓
N 31.952162°
E 56.206054°		 ← 4 146.14 m →
17 183 741 m²		 N 31.952162°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65618896484375 y=0.40618896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65618896484375 × 213)
    floor (0.65618896484375 × 8192)
    floor (5375.5)     		tx = 5375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40618896484375 × 213)
    floor (0.40618896484375 × 8192)
    floor (3327.5)     		ty = 3327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5375 / 3327 ti = "13/5375/3327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5375/3327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5375 ÷ 213
    5375 ÷ 8192     		x = 0.6561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3327 ÷ 213
    3327 ÷ 8192     		y = 0.4061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    0.312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98098071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4061279296875 × 2 - 1) × π
    0.187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.589815612925171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98098071} λ = 0.98098071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589815612925171))-π/2
    2×atan(1.80365581391557)-π/2
    2×1.06455870636379-π/2
    2.12911741272758-1.57079632675     		φ = 0.55832109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98098071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.206054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55832109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.989442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5375 KachelY 3327 0.98098071 0.55832109 56.206054 31.989442
    Oben rechts KachelX + 1 5376 KachelY 3327 0.98174770 0.55832109 56.250000 31.989442
    Unten links KachelX 5375 KachelY + 1 3328 0.98098071 0.55767043 56.206054 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 5376 KachelY + 1 3328 0.98174770 0.55767043 56.250000 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55832109-0.55767043) × R
    0.000650659999999914 × 6371000     		dl = 4145.35485999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55832109-0.55767043) × R
    0.000650659999999914 × 6371000     		dr = 4145.35485999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98098071-0.98174770) × cos(0.55832109) × R
    0.000766990000000023 × 0.848145730318861 × 6371000     		do = 4144.45842014539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98098071-0.98174770) × cos(0.55767043) × R
    0.000766990000000023 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 4146.14189538788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55832109)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848145730318861-0.848490246343458)×R²
    abs(0.98174770-0.98098071)×0.000344516024597508×R²
    0.000766990000000023×0.000344516024597508×6371000²
    0.000766990000000023×0.000344516024597508×40589641000000     		ar = 17183740.7613956m²