Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53759 / 86529
↖ ↑ ↗
← S 49.839754°
W 32.346497°		 ← 196.98 m → S 49.839754°
W 32.343750°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
S 49.841525°
W 32.346497°		 ← 196.97 m →
38 802 m²		 S 49.841525°
W 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410152435302734 y=0.660167694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410152435302734 × 217)
    floor (0.410152435302734 × 131072)
    floor (53759.5)     		tx = 53759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660167694091797 × 217)
    floor (0.660167694091797 × 131072)
    floor (86529.5)     		ty = 86529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53759 / 86529 ti = "17/53759/86529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53759/86529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53759 ÷ 217
    53759 ÷ 131072     		x = 0.410148620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86529 ÷ 217
    86529 ÷ 131072     		y = 0.660163879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410148620605469 × 2 - 1) × π
    -0.179702758789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.56455287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660163879394531 × 2 - 1) × π
    -0.320327758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.00633933372384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56455287} λ = -0.56455287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00633933372384))-π/2
    2×atan(0.365554707041816)-π/2
    2×0.350464262030399-π/2
    0.700928524060799-1.57079632675     		φ = -0.86986780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56455287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.346497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86986780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.839754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53759 KachelY 86529 -0.56455287 -0.86986780 -32.346497 -49.839754
    Oben rechts KachelX + 1 53760 KachelY 86529 -0.56450493 -0.86986780 -32.343750 -49.839754
    Unten links KachelX 53759 KachelY + 1 86530 -0.56455287 -0.86989872 -32.346497 -49.841525
    Unten rechts KachelX + 1 53760 KachelY + 1 86530 -0.56450493 -0.86989872 -32.343750 -49.841525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86986780--0.86989872) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dl = 196.991320000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86986780--0.86989872) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dr = 196.991320000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56455287--0.56450493) × cos(-0.86986780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644927585890416 × 6371000     		do = 196.977485166865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56455287--0.56450493) × cos(-0.86989872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644903955167412 × 6371000     		du = 196.970267735804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86986780)-sin(-0.86989872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644927585890416-0.644903955167412)×R²
    abs(-0.56450493--0.56455287)×2.36307230043753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36307230043753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36307230043753e-05×40589641000000     		ar = 38802.1439308568m²