Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5376 / 1280
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 56.250000°		 ← 1 112.45 m → N 76.840817°
E 56.293945°		 →
↑
1 112.89 m
↓
↑
1 112.89 m
↓
N 76.830808°
E 56.250000°		 ← 1 113.28 m →
1 238 488 m²		 N 76.830808°
E 56.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65631103515625 y=0.15631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65631103515625 × 213)
    floor (0.65631103515625 × 8192)
    floor (5376.5)     		tx = 5376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15631103515625 × 213)
    floor (0.15631103515625 × 8192)
    floor (1280.5)     		ty = 1280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5376 / 1280 ti = "13/5376/1280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5376/1280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5376 ÷ 213
    5376 ÷ 8192     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1280 ÷ 213
    1280 ÷ 8192     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5376 KachelY 1280 0.98174770 1.34112525 56.250000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 5377 KachelY 1280 0.98251469 1.34112525 56.293945 76.840817
    Unten links KachelX 5376 KachelY + 1 1281 0.98174770 1.34095057 56.250000 76.830808
    Unten rechts KachelX + 1 5377 KachelY + 1 1281 0.98251469 1.34095057 56.293945 76.830808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.34095057) × R
    0.000174679999999983 × 6371000     		dl = 1112.88627999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.34095057) × R
    0.000174679999999983 × 6371000     		dr = 1112.88627999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98251469) × cos(1.34112525) × R
    0.000766990000000023 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 1112.44562326032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98251469) × cos(1.34095057) × R
    0.000766990000000023 × 0.227827339398414 × 6371000     		du = 1113.27676524894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.34095057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.227827339398414)×R²
    abs(0.98251469-0.98174770)×0.000170089661295503×R²
    0.000766990000000023×0.000170089661295503×6371000²
    0.000766990000000023×0.000170089661295503×40589641000000     		ar = 1238487.95777954m²