Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5376 / 7423
↖ ↑ ↗
← S 81.086408°
E 56.250000°		 ← 757.14 m → S 81.086408°
E 56.293945°		 →
↑
756.81 m
↓
↑
756.81 m
↓
S 81.093214°
E 56.250000°		 ← 756.56 m →
572 792 m²		 S 81.093214°
E 56.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65631103515625 y=0.90618896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65631103515625 × 213)
    floor (0.65631103515625 × 8192)
    floor (5376.5)     		tx = 5376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90618896484375 × 213)
    floor (0.90618896484375 × 8192)
    floor (7423.5)     		ty = 7423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5376 / 7423 ti = "13/5376/7423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5376/7423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5376 ÷ 213
    5376 ÷ 8192     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7423 ÷ 213
    7423 ÷ 8192     		y = 0.9061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.812255859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55177704057483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55177704057483))-π/2
    2×atan(0.0779430349255236)-π/2
    2×0.0777857700925442-π/2
    0.155571540185088-1.57079632675     		φ = -1.41522479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41522479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.086408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5376 KachelY 7423 0.98174770 -1.41522479 56.250000 -81.086408
    Oben rechts KachelX + 1 5377 KachelY 7423 0.98251469 -1.41522479 56.293945 -81.086408
    Unten links KachelX 5376 KachelY + 1 7424 0.98174770 -1.41534358 56.250000 -81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 5377 KachelY + 1 7424 0.98251469 -1.41534358 56.293945 -81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41522479--1.41534358) × R
    0.000118790000000146 × 6371000     		dl = 756.811090000932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41522479--1.41534358) × R
    0.000118790000000146 × 6371000     		dr = 756.811090000932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98251469) × cos(-1.41522479) × R
    0.000766990000000023 × 0.154944758989559 × 6371000     		do = 757.136525123169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98251469) × cos(-1.41534358) × R
    0.000766990000000023 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 756.56306346032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41522479)-sin(-1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154944758989559-0.154827402507351)×R²
    abs(0.98251469-0.98174770)×0.000117356482208231×R²
    0.000766990000000023×0.000117356482208231×6371000²
    0.000766990000000023×0.000117356482208231×40589641000000     		ar = 572792.318460779m²