Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53762 / 86530
↖ ↑ ↗
← S 49.841525°
W 32.338257°		 ← 196.97 m → S 49.841525°
W 32.335510°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
S 49.843296°
W 32.338257°		 ← 196.96 m →
38 788 m²		 S 49.843296°
W 32.335510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410175323486328 y=0.660175323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410175323486328 × 217)
    floor (0.410175323486328 × 131072)
    floor (53762.5)     		tx = 53762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660175323486328 × 217)
    floor (0.660175323486328 × 131072)
    floor (86530.5)     		ty = 86530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53762 / 86530 ti = "17/53762/86530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53762/86530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53762 ÷ 217
    53762 ÷ 131072     		x = 0.410171508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86530 ÷ 217
    86530 ÷ 131072     		y = 0.660171508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410171508789062 × 2 - 1) × π
    -0.179656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56440906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660171508789062 × 2 - 1) × π
    -0.320343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00638727062346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56440906} λ = -0.56440906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00638727062346))-π/2
    2×atan(0.365537183902525)-π/2
    2×0.350448804399129-π/2
    0.700897608798258-1.57079632675     		φ = -0.86989872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56440906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.338257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86989872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.841525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53762 KachelY 86530 -0.56440906 -0.86989872 -32.338257 -49.841525
    Oben rechts KachelX + 1 53763 KachelY 86530 -0.56436112 -0.86989872 -32.335510 -49.841525
    Unten links KachelX 53762 KachelY + 1 86531 -0.56440906 -0.86992963 -32.338257 -49.843296
    Unten rechts KachelX + 1 53763 KachelY + 1 86531 -0.56436112 -0.86992963 -32.335510 -49.843296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86989872--0.86992963) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86989872--0.86992963) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56440906--0.56436112) × cos(-0.86989872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644903955167412 × 6371000     		do = 196.970267735804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56440906--0.56436112) × cos(-0.86992963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644880331470685 × 6371000     		du = 196.96305245075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86989872)-sin(-0.86992963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644903955167412-0.644880331470685)×R²
    abs(-0.56436112--0.56440906)×2.36236967269265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36236967269265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36236967269265e-05×40589641000000     		ar = 38788.1736249842m²