Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53768 / 86536
↖ ↑ ↗
← S 49.852152°
W 32.321777°		 ← 196.89 m → S 49.852152°
W 32.319031°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
S 49.853922°
W 32.321777°		 ← 196.88 m →
38 759 m²		 S 49.853922°
W 32.319031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410221099853516 y=0.660221099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410221099853516 × 217)
    floor (0.410221099853516 × 131072)
    floor (53768.5)     		tx = 53768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660221099853516 × 217)
    floor (0.660221099853516 × 131072)
    floor (86536.5)     		ty = 86536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53768 / 86536 ti = "17/53768/86536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53768/86536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53768 ÷ 217
    53768 ÷ 131072     		x = 0.41021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86536 ÷ 217
    86536 ÷ 131072     		y = 0.66021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56412143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.3204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56412143} λ = -0.56412143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00667489202118))-π/2
    2×atan(0.365432062705049)-π/2
    2×0.35035607050364-π/2
    0.70071214100728-1.57079632675     		φ = -0.87008419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56412143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.321777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87008419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.852152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53768 KachelY 86536 -0.56412143 -0.87008419 -32.321777 -49.852152
    Oben rechts KachelX + 1 53769 KachelY 86536 -0.56407350 -0.87008419 -32.319031 -49.852152
    Unten links KachelX 53768 KachelY + 1 86537 -0.56412143 -0.87011509 -32.321777 -49.853922
    Unten rechts KachelX + 1 53769 KachelY + 1 86537 -0.56407350 -0.87011509 -32.319031 -49.853922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87008419--0.87011509) × R
    3.08999999999449e-05 × 6371000     		dl = 196.863899999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87008419--0.87011509) × R
    3.08999999999449e-05 × 6371000     		dr = 196.863899999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56412143--0.56407350) × cos(-0.87008419) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644762196101618 × 6371000     		do = 196.885893068969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56412143--0.56407350) × cos(-0.87011509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644738576352241 × 6371000     		du = 196.878680494351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87008419)-sin(-0.87011509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644762196101618-0.644738576352241)×R²
    abs(-0.56407350--0.56412143)×2.36197493768131e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36197493768131e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36197493768131e-05×40589641000000     		ar = 38759.0148197797m²