Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5378 / 1794
↖ ↑ ↗
← N 70.583417°
E 56.337891°		 ← 1 624.44 m → N 70.583417°
E 56.381836°		 →
↑
1 624.99 m
↓
↑
1 624.99 m
↓
N 70.568803°
E 56.337891°		 ← 1 625.61 m →
2 640 645 m²		 N 70.568803°
E 56.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65655517578125 y=0.21905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65655517578125 × 213)
    floor (0.65655517578125 × 8192)
    floor (5378.5)     		tx = 5378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21905517578125 × 213)
    floor (0.21905517578125 × 8192)
    floor (1794.5)     		ty = 1794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5378 / 1794 ti = "13/5378/1794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5378/1794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5378 ÷ 213
    5378 ÷ 8192     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1794 ÷ 213
    1794 ÷ 8192     		y = 0.218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    0.56201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76561188680591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76561188680591))-π/2
    2×atan(5.84514783291905)-π/2
    2×1.40135467993365-π/2
    2.80270935986731-1.57079632675     		φ = 1.23191303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23191303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.583417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5378 KachelY 1794 0.98328169 1.23191303 56.337891 70.583417
    Oben rechts KachelX + 1 5379 KachelY 1794 0.98404868 1.23191303 56.381836 70.583417
    Unten links KachelX 5378 KachelY + 1 1795 0.98328169 1.23165797 56.337891 70.568803
    Unten rechts KachelX + 1 5379 KachelY + 1 1795 0.98404868 1.23165797 56.381836 70.568803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23191303-1.23165797) × R
    0.000255059999999974 × 6371000     		dl = 1624.98725999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23191303-1.23165797) × R
    0.000255059999999974 × 6371000     		dr = 1624.98725999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98404868) × cos(1.23191303) × R
    0.000766990000000023 × 0.332434107269476 × 6371000     		do = 1624.43703453948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98404868) × cos(1.23165797) × R
    0.000766990000000023 × 0.332674650294458 × 6371000     		du = 1625.61244641702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23191303)-sin(1.23165797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332434107269476-0.332674650294458)×R²
    abs(0.98404868-0.98328169)×0.000240543024982665×R²
    0.000766990000000023×0.000240543024982665×6371000²
    0.000766990000000023×0.000240543024982665×40589641000000     		ar = 2640644.51477725m²