Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5378 / 7426
↖ ↑ ↗
← S 81.106812°
E 56.337891°		 ← 755.42 m → S 81.106812°
E 56.381836°		 →
↑
755.09 m
↓
↑
755.09 m
↓
S 81.113602°
E 56.337891°		 ← 754.85 m →
570 193 m²		 S 81.113602°
E 56.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65655517578125 y=0.90655517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65655517578125 × 213)
    floor (0.65655517578125 × 8192)
    floor (5378.5)     		tx = 5378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90655517578125 × 213)
    floor (0.90655517578125 × 8192)
    floor (7426.5)     		ty = 7426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5378 / 7426 ti = "13/5378/7426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5378/7426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5378 ÷ 213
    5378 ÷ 8192     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7426 ÷ 213
    7426 ÷ 8192     		y = 0.906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.81298828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55407801175659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55407801175659))-π/2
    2×atan(0.077763896423643)-π/2
    2×0.0776077108371418-π/2
    0.155215421674284-1.57079632675     		φ = -1.41558091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41558091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.106812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5378 KachelY 7426 0.98328169 -1.41558091 56.337891 -81.106812
    Oben rechts KachelX + 1 5379 KachelY 7426 0.98404868 -1.41558091 56.381836 -81.106812
    Unten links KachelX 5378 KachelY + 1 7427 0.98328169 -1.41569943 56.337891 -81.113602
    Unten rechts KachelX + 1 5379 KachelY + 1 7427 0.98404868 -1.41569943 56.381836 -81.113602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41558091--1.41569943) × R
    0.000118520000000011 × 6371000     		dl = 755.090920000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41558091--1.41569943) × R
    0.000118520000000011 × 6371000     		dr = 755.090920000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98404868) × cos(-1.41558091) × R
    0.000766990000000023 × 0.15459292998482 × 6371000     		do = 755.417315052285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98404868) × cos(-1.41569943) × R
    0.000766990000000023 × 0.15447583371691 × 6371000     		du = 754.845124924859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41558091)-sin(-1.41569943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15459292998482-0.15447583371691)×R²
    abs(0.98404868-0.98328169)×0.000117096267910038×R²
    0.000766990000000023×0.000117096267910038×6371000²
    0.000766990000000023×0.000117096267910038×40589641000000     		ar = 570192.728290697m²