Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5380 / 1292
↖ ↑ ↗
← N 76.720223°
E 56.425781°		 ← 1 122.46 m → N 76.720223°
E 56.469727°		 →
↑
1 122.89 m
↓
↑
1 122.89 m
↓
N 76.710125°
E 56.425781°		 ← 1 123.30 m →
1 260 866 m²		 N 76.710125°
E 56.469727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65679931640625 y=0.15777587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65679931640625 × 213)
    floor (0.65679931640625 × 8192)
    floor (5380.5)     		tx = 5380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15777587890625 × 213)
    floor (0.15777587890625 × 8192)
    floor (1292.5)     		ty = 1292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5380 / 1292 ti = "13/5380/1292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5380/1292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5380 ÷ 213
    5380 ÷ 8192     		x = 0.65673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1292 ÷ 213
    1292 ÷ 8192     		y = 0.15771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    0.6845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1506410645542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98481567} λ = 0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1506410645542))-π/2
    2×atan(8.59036361000901)-π/2
    2×1.45490841303141-π/2
    2.90981682606282-1.57079632675     		φ = 1.33902050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33902050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.720223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5380 KachelY 1292 0.98481567 1.33902050 56.425781 76.720223
    Oben rechts KachelX + 1 5381 KachelY 1292 0.98558266 1.33902050 56.469727 76.720223
    Unten links KachelX 5380 KachelY + 1 1293 0.98481567 1.33884425 56.425781 76.710125
    Unten rechts KachelX + 1 5381 KachelY + 1 1293 0.98558266 1.33884425 56.469727 76.710125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33902050-1.33884425) × R
    0.000176249999999989 × 6371000     		dl = 1122.88874999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33902050-1.33884425) × R
    0.000176249999999989 × 6371000     		dr = 1122.88874999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98481567-0.98558266) × cos(1.33902050) × R
    0.000766990000000023 × 0.229706226029548 × 6371000     		do = 1122.45793216465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98481567-0.98558266) × cos(1.33884425) × R
    0.000766990000000023 × 0.229877759537859 × 6371000     		du = 1123.29612950202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33902050)-sin(1.33884425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229706226029548-0.229877759537859)×R²
    abs(0.98558266-0.98481567)×0.000171533508310812×R²
    0.000766990000000023×0.000171533508310812×6371000²
    0.000766990000000023×0.000171533508310812×40589641000000     		ar = 1260865.98882108m²