Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53888 / 86656
↖ ↑ ↗
← S 50.064192°
W 31.992188°		 ← 196.06 m → S 50.064192°
W 31.989441°		 →
↑
196.04 m
↓
↑
196.04 m
↓
S 50.065955°
W 31.992188°		 ← 196.05 m →
38 434 m²		 S 50.065955°
W 31.989441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411136627197266 y=0.661136627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411136627197266 × 217)
    floor (0.411136627197266 × 131072)
    floor (53888.5)     		tx = 53888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661136627197266 × 217)
    floor (0.661136627197266 × 131072)
    floor (86656.5)     		ty = 86656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53888 / 86656 ti = "17/53888/86656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53888/86656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53888 ÷ 217
    53888 ÷ 131072     		x = 0.4111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86656 ÷ 217
    86656 ÷ 131072     		y = 0.6611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55836901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6611328125 × 2 - 1) × π
    -0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55836901} λ = -0.55836901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01242731997559))-π/2
    2×atan(0.363335975666976)-π/2
    2×0.348505671829517-π/2
    0.697011343659033-1.57079632675     		φ = -0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55836901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.992188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53888 KachelY 86656 -0.55836901 -0.87378498 -31.992188 -50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 53889 KachelY 86656 -0.55832107 -0.87378498 -31.989441 -50.064192
    Unten links KachelX 53888 KachelY + 1 86657 -0.55836901 -0.87381575 -31.992188 -50.065955
    Unten rechts KachelX + 1 53889 KachelY + 1 86657 -0.55832107 -0.87381575 -31.989441 -50.065955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87378498--0.87381575) × R
    3.07699999999578e-05 × 6371000     		dl = 196.035669999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87378498--0.87381575) × R
    3.07699999999578e-05 × 6371000     		dr = 196.035669999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55836901--0.55832107) × cos(-0.87378498) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 196.061629314572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55836901--0.55832107) × cos(-0.87381575) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.641905371861037 × 6371000     		du = 196.054423210958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87378498)-sin(-0.87381575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.641905371861037)×R²
    abs(-0.55832107--0.55836901)×2.35936356054456e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35936356054456e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35936356054456e-05×40589641000000     		ar = 38434.3665402695m²