Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5391 / 1297
↖ ↑ ↗
← N 76.669656°
E 56.909180°		 ← 1 126.65 m → N 76.669656°
E 56.953125°		 →
↑
1 127.09 m
↓
↑
1 127.09 m
↓
N 76.659520°
E 56.909180°		 ← 1 127.50 m →
1 270 319 m²		 N 76.659520°
E 56.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65814208984375 y=0.15838623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65814208984375 × 213)
    floor (0.65814208984375 × 8192)
    floor (5391.5)     		tx = 5391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15838623046875 × 213)
    floor (0.15838623046875 × 8192)
    floor (1297.5)     		ty = 1297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5391 / 1297 ti = "13/5391/1297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5391/1297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5391 ÷ 213
    5391 ÷ 8192     		x = 0.6580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1297 ÷ 213
    1297 ÷ 8192     		y = 0.1583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6580810546875 × 2 - 1) × π
    0.316162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.99325256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1583251953125 × 2 - 1) × π
    0.683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14680611258459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99325256} λ = 0.99325256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14680611258459))-π/2
    2×atan(8.55748306611392)-π/2
    2×1.4544671339112-π/2
    2.90893426782239-1.57079632675     		φ = 1.33813794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99325256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.909180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33813794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.669656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5391 KachelY 1297 0.99325256 1.33813794 56.909180 76.669656
    Oben rechts KachelX + 1 5392 KachelY 1297 0.99401955 1.33813794 56.953125 76.669656
    Unten links KachelX 5391 KachelY + 1 1298 0.99325256 1.33796103 56.909180 76.659520
    Unten rechts KachelX + 1 5392 KachelY + 1 1298 0.99401955 1.33796103 56.953125 76.659520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33813794-1.33796103) × R
    0.000176909999999975 × 6371000     		dl = 1127.09360999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33813794-1.33796103) × R
    0.000176909999999975 × 6371000     		dr = 1127.09360999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99325256-0.99401955) × cos(1.33813794) × R
    0.000766990000000023 × 0.23056509681319 × 6371000     		do = 1126.65479848589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99325256-0.99401955) × cos(1.33796103) × R
    0.000766990000000023 × 0.230737236700956 × 6371000     		du = 1127.4959588924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33813794)-sin(1.33796103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23056509681319-0.230737236700956)×R²
    abs(0.99401955-0.99325256)×0.000172139887765488×R²
    0.000766990000000023×0.000172139887765488×6371000²
    0.000766990000000023×0.000172139887765488×40589641000000     		ar = 1270319.46062008m²