Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5396 / 1300
↖ ↑ ↗
← N 76.639225°
E 57.128906°		 ← 1 129.18 m → N 76.639225°
E 57.172851°		 →
↑
1 129.58 m
↓
↑
1 129.58 m
↓
N 76.629067°
E 57.128906°		 ← 1 130.02 m →
1 275 973 m²		 N 76.629067°
E 57.172851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65875244140625 y=0.15875244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65875244140625 × 213)
    floor (0.65875244140625 × 8192)
    floor (5396.5)     		tx = 5396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15875244140625 × 213)
    floor (0.15875244140625 × 8192)
    floor (1300.5)     		ty = 1300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5396 / 1300 ti = "13/5396/1300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5396/1300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5396 ÷ 213
    5396 ÷ 8192     		x = 0.65869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1300 ÷ 213
    1300 ÷ 8192     		y = 0.15869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65869140625 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.99708751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    0.6826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14450514140283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99708751} λ = 0.99708751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14450514140283))-π/2
    2×atan(8.53781518048697)-π/2
    2×1.45420157492402-π/2
    2.90840314984804-1.57079632675     		φ = 1.33760682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99708751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33760682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.639225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5396 KachelY 1300 0.99708751 1.33760682 57.128906 76.639225
    Oben rechts KachelX + 1 5397 KachelY 1300 0.99785450 1.33760682 57.172851 76.639225
    Unten links KachelX 5396 KachelY + 1 1301 0.99708751 1.33742952 57.128906 76.629067
    Unten rechts KachelX + 1 5397 KachelY + 1 1301 0.99785450 1.33742952 57.172851 76.629067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33760682-1.33742952) × R
    0.000177300000000047 × 6371000     		dl = 1129.5783000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33760682-1.33742952) × R
    0.000177300000000047 × 6371000     		dr = 1129.5783000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99708751-0.99785450) × cos(1.33760682) × R
    0.000766990000000023 × 0.231081874251245 × 6371000     		do = 1129.18002796937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99708751-0.99785450) × cos(1.33742952) × R
    0.000766990000000023 × 0.23125437187106 × 6371000     		du = 1130.02293643113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33760682)-sin(1.33742952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231081874251245-0.23125437187106)×R²
    abs(0.99785450-0.99708751)×0.000172497619815304×R²
    0.000766990000000023×0.000172497619815304×6371000²
    0.000766990000000023×0.000172497619815304×40589641000000     		ar = 1275973.32528493m²