Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54016 / 85760
↖ ↑ ↗
← S 48.458352°
W 31.640625°		 ← 202.51 m → S 48.458352°
W 31.637879°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 48.460173°
W 31.640625°		 ← 202.50 m →
41 013 m²		 S 48.460173°
W 31.637879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412113189697266 y=0.654300689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412113189697266 × 217)
    floor (0.412113189697266 × 131072)
    floor (54016.5)     		tx = 54016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654300689697266 × 217)
    floor (0.654300689697266 × 131072)
    floor (85760.5)     		ty = 85760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54016 / 85760 ti = "17/54016/85760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54016/85760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54016 ÷ 217
    54016 ÷ 131072     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85760 ÷ 217
    85760 ÷ 131072     		y = 0.654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654296875 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969475857916016))-π/2
    2×atan(0.379281783557872)-π/2
    2×0.362519268184134-π/2
    0.725038536368268-1.57079632675     		φ = -0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54016 KachelY 85760 -0.55223308 -0.84575779 -31.640625 -48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 54017 KachelY 85760 -0.55218515 -0.84575779 -31.637879 -48.458352
    Unten links KachelX 54016 KachelY + 1 85761 -0.55223308 -0.84578958 -31.640625 -48.460173
    Unten rechts KachelX + 1 54017 KachelY + 1 85761 -0.55218515 -0.84578958 -31.637879 -48.460173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84575779--0.84578958) × R
    3.1790000000087e-05 × 6371000     		dl = 202.534090000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84575779--0.84578958) × R
    3.1790000000087e-05 × 6371000     		dr = 202.534090000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.55218515) × cos(-0.84575779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 202.505192883515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.55218515) × cos(-0.84578958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663140492620337 × 6371000     		du = 202.49792700187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84575779)-sin(-0.84578958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.663140492620337)×R²
    abs(-0.55218515--0.55223308)×2.37943193038825e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37943193038825e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37943193038825e-05×40589641000000     		ar = 41013.4691700551m²