Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5407 / 1313
↖ ↑ ↗
← N 76.506569°
E 57.612305°		 ← 1 140.18 m → N 76.506569°
E 57.656250°		 →
↑
1 140.60 m
↓
↑
1 140.60 m
↓
N 76.496311°
E 57.612305°		 ← 1 141.04 m →
1 300 980 m²		 N 76.496311°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66009521484375 y=0.16033935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66009521484375 × 213)
    floor (0.66009521484375 × 8192)
    floor (5407.5)     		tx = 5407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16033935546875 × 213)
    floor (0.16033935546875 × 8192)
    floor (1313.5)     		ty = 1313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5407 / 1313 ti = "13/5407/1313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5407/1313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5407 ÷ 213
    5407 ÷ 8192     		x = 0.6600341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1313 ÷ 213
    1313 ÷ 8192     		y = 0.1602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6600341796875 × 2 - 1) × π
    0.320068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.00552441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1602783203125 × 2 - 1) × π
    0.679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13453426628186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00552441} λ = 1.00552441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13453426628186))-π/2
    2×atan(8.45310869220515)-π/2
    2×1.45304392560721-π/2
    2.90608785121442-1.57079632675     		φ = 1.33529152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00552441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33529152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.506569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5407 KachelY 1313 1.00552441 1.33529152 57.612305 76.506569
    Oben rechts KachelX + 1 5408 KachelY 1313 1.00629140 1.33529152 57.656250 76.506569
    Unten links KachelX 5407 KachelY + 1 1314 1.00552441 1.33511249 57.612305 76.496311
    Unten rechts KachelX + 1 5408 KachelY + 1 1314 1.00629140 1.33511249 57.656250 76.496311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33529152-1.33511249) × R
    0.000179029999999969 × 6371000     		dl = 1140.6001299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33529152-1.33511249) × R
    0.000179029999999969 × 6371000     		dr = 1140.6001299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00552441-1.00629140) × cos(1.33529152) × R
    0.000766990000000023 × 0.233333887671529 × 6371000     		do = 1140.18447643657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00552441-1.00629140) × cos(1.33511249) × R
    0.000766990000000023 × 0.23350797210825 × 6371000     		du = 1141.03513886851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33529152)-sin(1.33511249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233333887671529-0.23350797210825)×R²
    abs(1.00629140-1.00552441)×0.000174084436721594×R²
    0.000766990000000023×0.000174084436721594×6371000²
    0.000766990000000023×0.000174084436721594×40589641000000     		ar = 1300979.69836083m²