Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5408 / 1312
↖ ↑ ↗
← N 76.516819°
E 57.656250°		 ← 1 139.33 m → N 76.516819°
E 57.700195°		 →
↑
1 139.77 m
↓
↑
1 139.77 m
↓
N 76.506569°
E 57.656250°		 ← 1 140.18 m →
1 299 066 m²		 N 76.506569°
E 57.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66021728515625 y=0.16021728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66021728515625 × 213)
    floor (0.66021728515625 × 8192)
    floor (5408.5)     		tx = 5408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16021728515625 × 213)
    floor (0.16021728515625 × 8192)
    floor (1312.5)     		ty = 1312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5408 / 1312 ti = "13/5408/1312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5408/1312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5408 ÷ 213
    5408 ÷ 8192     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1312 ÷ 213
    1312 ÷ 8192     		y = 0.16015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16015625 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13530125667578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13530125667578))-π/2
    2×atan(8.45959463237978)-π/2
    2×1.45313337466975-π/2
    2.90626674933949-1.57079632675     		φ = 1.33547042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33547042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5408 KachelY 1312 1.00629140 1.33547042 57.656250 76.516819
    Oben rechts KachelX + 1 5409 KachelY 1312 1.00705839 1.33547042 57.700195 76.516819
    Unten links KachelX 5408 KachelY + 1 1313 1.00629140 1.33529152 57.656250 76.506569
    Unten rechts KachelX + 1 5409 KachelY + 1 1313 1.00705839 1.33529152 57.700195 76.506569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33547042-1.33529152) × R
    0.000178900000000093 × 6371000     		dl = 1139.77190000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33547042-1.33529152) × R
    0.000178900000000093 × 6371000     		dr = 1139.77190000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00705839) × cos(1.33547042) × R
    0.000766990000000023 × 0.233159922173044 × 6371000     		do = 1139.33439519554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00705839) × cos(1.33529152) × R
    0.000766990000000023 × 0.233333887671529 × 6371000     		du = 1140.18447643657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33547042)-sin(1.33529152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233159922173044-0.233333887671529)×R²
    abs(1.00705839-1.00629140)×0.000173965498484419×R²
    0.000766990000000023×0.000173965498484419×6371000²
    0.000766990000000023×0.000173965498484419×40589641000000     		ar = 1299065.7811711m²