Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54288 / 87056
↖ ↑ ↗
← S 50.764259°
W 30.893555°		 ← 193.19 m → S 50.764259°
W 30.890808°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
S 50.765997°
W 30.893555°		 ← 193.18 m →
37 317 m²		 S 50.765997°
W 30.890808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414188385009766 y=0.664188385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414188385009766 × 217)
    floor (0.414188385009766 × 131072)
    floor (54288.5)     		tx = 54288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664188385009766 × 217)
    floor (0.664188385009766 × 131072)
    floor (87056.5)     		ty = 87056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54288 / 87056 ti = "17/54288/87056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54288/87056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54288 ÷ 217
    54288 ÷ 131072     		x = 0.4141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87056 ÷ 217
    87056 ÷ 131072     		y = 0.6641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53919425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03160207982361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53919425} λ = -0.53919425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03160207982361))-π/2
    2×atan(0.356435464833861)-π/2
    2×0.342396429347762-π/2
    0.684792858695524-1.57079632675     		φ = -0.88600347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53919425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.893555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88600347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.764259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54288 KachelY 87056 -0.53919425 -0.88600347 -30.893555 -50.764259
    Oben rechts KachelX + 1 54289 KachelY 87056 -0.53914631 -0.88600347 -30.890808 -50.764259
    Unten links KachelX 54288 KachelY + 1 87057 -0.53919425 -0.88603379 -30.893555 -50.765997
    Unten rechts KachelX + 1 54289 KachelY + 1 87057 -0.53914631 -0.88603379 -30.890808 -50.765997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88600347--0.88603379) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88600347--0.88603379) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53919425--0.53914631) × cos(-0.88600347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632512582300562 × 6371000     		do = 193.185623508333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53919425--0.53914631) × cos(-0.88603379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632489097651271 × 6371000     		du = 193.178450691945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88600347)-sin(-0.88603379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632512582300562-0.632489097651271)×R²
    abs(-0.53914631--0.53919425)×2.34846492903618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34846492903618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34846492903618e-05×40589641000000     		ar = 37316.7268366835m²