Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 544 / 96
↖ ↑ ↗
← N 81.093214°
E 11.250000°		 ← 6 052.50 m → N 81.093214°
E 11.601562°		 →
↑
6 070.86 m
↓
↑
6 070.86 m
↓
N 81.038617°
E 11.250000°		 ← 6 089.30 m →
36 855 623 m²		 N 81.038617°
E 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53173828125 y=0.09423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53173828125 × 210)
    floor (0.53173828125 × 1024)
    floor (544.5)     		tx = 544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09423828125 × 210)
    floor (0.09423828125 × 1024)
    floor (96.5)     		ty = 96
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 544 / 96 ti = "10/544/96"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/544/96.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 544 ÷ 210
    544 ÷ 1024     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96 ÷ 210
    96 ÷ 1024     		y = 0.09375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09375 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55254403096875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55254403096875))-π/2
    2×atan(12.8397269308608)-π/2
    2×1.49306995476775-π/2
    2.98613990953549-1.57079632675     		φ = 1.41534358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41534358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.093214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 544 KachelY 96 0.19634954 1.41534358 11.250000 81.093214
    Oben rechts KachelX + 1 545 KachelY 96 0.20248546 1.41534358 11.601562 81.093214
    Unten links KachelX 544 KachelY + 1 97 0.19634954 1.41439069 11.250000 81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 545 KachelY + 1 97 0.20248546 1.41439069 11.601562 81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41534358-1.41439069) × R
    0.000952889999999984 × 6371000     		dl = 6070.8621899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41534358-1.41439069) × R
    0.000952889999999984 × 6371000     		dr = 6070.8621899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.20248546) × cos(1.41534358) × R
    0.00613592000000002 × 0.154827402507351 × 6371000     		do = 6052.5045076824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.20248546) × cos(1.41439069) × R
    0.00613592000000002 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 6089.30289724857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41534358)-sin(1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154827402507351-0.155768731682034)×R²
    abs(0.20248546-0.19634954)×0.000941329174683481×R²
    0.00613592000000002×0.000941329174683481×6371000²
    0.00613592000000002×0.000941329174683481×40589641000000     		ar = 36855622.5351624m²