Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5440 / 1344
↖ ↑ ↗
← N 76.184995°
E 59.062500°		 ← 1 166.83 m → N 76.184995°
E 59.106445°		 →
↑
1 167.23 m
↓
↑
1 167.23 m
↓
N 76.174498°
E 59.062500°		 ← 1 167.70 m →
1 362 473 m²		 N 76.174498°
E 59.106445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66412353515625 y=0.16412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66412353515625 × 213)
    floor (0.66412353515625 × 8192)
    floor (5440.5)     		tx = 5440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16412353515625 × 213)
    floor (0.16412353515625 × 8192)
    floor (1344.5)     		ty = 1344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5440 / 1344 ti = "13/5440/1344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5440/1344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5440 ÷ 213
    5440 ÷ 8192     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1344 ÷ 213
    1344 ÷ 8192     		y = 0.1640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1640625 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11075756407031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11075756407031))-π/2
    2×atan(8.25449222331149)-π/2
    2×1.45023766909548-π/2
    2.90047533819095-1.57079632675     		φ = 1.32967901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32967901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5440 KachelY 1344 1.03083509 1.32967901 59.062500 76.184995
    Oben rechts KachelX + 1 5441 KachelY 1344 1.03160208 1.32967901 59.106445 76.184995
    Unten links KachelX 5440 KachelY + 1 1345 1.03083509 1.32949580 59.062500 76.174498
    Unten rechts KachelX + 1 5441 KachelY + 1 1345 1.03160208 1.32949580 59.106445 76.174498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32967901-1.32949580) × R
    0.0001832100000001 × 6371000     		dl = 1167.23091000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32967901-1.32949580) × R
    0.0001832100000001 × 6371000     		dr = 1167.23091000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03160208) × cos(1.32967901) × R
    0.000766990000000023 × 0.238787770060559 × 6371000     		do = 1166.83483613502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03160208) × cos(1.32949580) × R
    0.000766990000000023 × 0.238965676112716 × 6371000     		du = 1167.70417286513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32967901)-sin(1.32949580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238787770060559-0.238965676112716)×R²
    abs(1.03160208-1.03083509)×0.000177906052156535×R²
    0.000766990000000023×0.000177906052156535×6371000²
    0.000766990000000023×0.000177906052156535×40589641000000     		ar = 1362473.04976415m²