Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5440 / 7488
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E 59.062500°		 ← 720.73 m → S 81.518272°
E 59.106445°		 →
↑
720.50 m
↓
↑
720.50 m
↓
S 81.524751°
E 59.062500°		 ← 720.18 m →
519 085 m²		 S 81.524751°
E 59.106445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66412353515625 y=0.91412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66412353515625 × 213)
    floor (0.66412353515625 × 8192)
    floor (5440.5)     		tx = 5440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91412353515625 × 213)
    floor (0.91412353515625 × 8192)
    floor (7488.5)     		ty = 7488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5440 / 7488 ti = "13/5440/7488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5440/7488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5440 ÷ 213
    5440 ÷ 8192     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7488 ÷ 213
    7488 ÷ 8192     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5440 KachelY 7488 1.03083509 -1.42276224 59.062500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 5441 KachelY 7488 1.03160208 -1.42276224 59.106445 -81.518272
    Unten links KachelX 5440 KachelY + 1 7489 1.03083509 -1.42287533 59.062500 -81.524751
    Unten rechts KachelX + 1 5441 KachelY + 1 7489 1.03160208 -1.42287533 59.106445 -81.524751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42287533) × R
    0.000113090000000149 × 6371000     		dl = 720.496390000949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42287533) × R
    0.000113090000000149 × 6371000     		dr = 720.496390000949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03160208) × cos(-1.42276224) × R
    0.000766990000000023 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 720.728474697366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03160208) × cos(-1.42287533) × R
    0.000766990000000023 × 0.147382152759612 × 6371000     		du = 720.181900525618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42287533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.147382152759612)×R²
    abs(1.03160208-1.03083509)×0.000111854071889655×R²
    0.000766990000000023×0.000111854071889655×6371000²
    0.000766990000000023×0.000111854071889655×40589641000000     		ar = 519085.362387206m²