Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5444 / 1348
↖ ↑ ↗
← N 76.142959°
E 59.238281°		 ← 1 170.32 m → N 76.142959°
E 59.282226°		 →
↑
1 170.80 m
↓
↑
1 170.80 m
↓
N 76.132429°
E 59.238281°		 ← 1 171.19 m →
1 370 715 m²		 N 76.132429°
E 59.282226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66461181640625 y=0.16461181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66461181640625 × 213)
    floor (0.66461181640625 × 8192)
    floor (5444.5)     		tx = 5444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16461181640625 × 213)
    floor (0.16461181640625 × 8192)
    floor (1348.5)     		ty = 1348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5444 / 1348 ti = "13/5444/1348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5444/1348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5444 ÷ 213
    5444 ÷ 8192     		x = 0.66455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1348 ÷ 213
    1348 ÷ 8192     		y = 0.16455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    0.3291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.03390305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    0.6708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10768960249463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03390305} λ = 1.03390305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10768960249463))-π/2
    2×atan(8.22920656588948)-π/2
    2×1.44987082710024-π/2
    2.89974165420049-1.57079632675     		φ = 1.32894533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03390305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32894533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.142959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5444 KachelY 1348 1.03390305 1.32894533 59.238281 76.142959
    Oben rechts KachelX + 1 5445 KachelY 1348 1.03467004 1.32894533 59.282226 76.142959
    Unten links KachelX 5444 KachelY + 1 1349 1.03390305 1.32876156 59.238281 76.132429
    Unten rechts KachelX + 1 5445 KachelY + 1 1349 1.03467004 1.32876156 59.282226 76.132429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32894533-1.32876156) × R
    0.000183770000000028 × 6371000     		dl = 1170.79867000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32894533-1.32876156) × R
    0.000183770000000028 × 6371000     		dr = 1170.79867000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03390305-1.03467004) × cos(1.32894533) × R
    0.000766990000000023 × 0.239500161671703 × 6371000     		do = 1170.31593296273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03390305-1.03467004) × cos(1.32876156) × R
    0.000766990000000023 × 0.239678579244088 × 6371000     		du = 1171.187769233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32894533)-sin(1.32876156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239500161671703-0.239678579244088)×R²
    abs(1.03467004-1.03390305)×0.000178417572384848×R²
    0.000766990000000023×0.000178417572384848×6371000²
    0.000766990000000023×0.000178417572384848×40589641000000     		ar = 1370714.71402216m²