Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5448 / 1352
↖ ↑ ↗
← N 76.100796°
E 59.414062°		 ← 1 173.81 m → N 76.100796°
E 59.458008°		 →
↑
1 174.24 m
↓
↑
1 174.24 m
↓
N 76.090236°
E 59.414062°		 ← 1 174.68 m →
1 378 843 m²		 N 76.090236°
E 59.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66510009765625 y=0.16510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66510009765625 × 213)
    floor (0.66510009765625 × 8192)
    floor (5448.5)     		tx = 5448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16510009765625 × 213)
    floor (0.16510009765625 × 8192)
    floor (1352.5)     		ty = 1352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5448 / 1352 ti = "13/5448/1352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5448/1352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5448 ÷ 213
    5448 ÷ 8192     		x = 0.6650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1352 ÷ 213
    1352 ÷ 8192     		y = 0.1650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6650390625 × 2 - 1) × π
    0.330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03697101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1650390625 × 2 - 1) × π
    0.669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10462164091895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03697101} λ = 1.03697101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10462164091895))-π/2
    2×atan(8.20399836501525)-π/2
    2×1.44950289077394-π/2
    2.89900578154787-1.57079632675     		φ = 1.32820945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03697101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.414062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32820945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.100796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5448 KachelY 1352 1.03697101 1.32820945 59.414062 76.100796
    Oben rechts KachelX + 1 5449 KachelY 1352 1.03773800 1.32820945 59.458008 76.100796
    Unten links KachelX 5448 KachelY + 1 1353 1.03697101 1.32802514 59.414062 76.090236
    Unten rechts KachelX + 1 5449 KachelY + 1 1353 1.03773800 1.32802514 59.458008 76.090236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32820945-1.32802514) × R
    0.000184309999999854 × 6371000     		dl = 1174.23900999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32820945-1.32802514) × R
    0.000184309999999854 × 6371000     		dr = 1174.23900999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03697101-1.03773800) × cos(1.32820945) × R
    0.000766990000000023 × 0.240214559947368 × 6371000     		do = 1173.80683534315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03697101-1.03773800) × cos(1.32802514) × R
    0.000766990000000023 × 0.240393469235958 × 6371000     		du = 1174.68107438136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32820945)-sin(1.32802514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240214559947368-0.240393469235958)×R²
    abs(1.03773800-1.03697101)×0.000178909288589518×R²
    0.000766990000000023×0.000178909288589518×6371000²
    0.000766990000000023×0.000178909288589518×40589641000000     		ar = 1378843.062959m²