Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54528 / 87296
↖ ↑ ↗
← S 51.179343°
W 30.234375°		 ← 191.47 m → S 51.179343°
W 30.231628°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
S 51.181064°
W 30.234375°		 ← 191.46 m →
36 655 m²		 S 51.181064°
W 30.231628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416019439697266 y=0.666019439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416019439697266 × 217)
    floor (0.416019439697266 × 131072)
    floor (54528.5)     		tx = 54528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666019439697266 × 217)
    floor (0.666019439697266 × 131072)
    floor (87296.5)     		ty = 87296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54528 / 87296 ti = "17/54528/87296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54528/87296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54528 ÷ 217
    54528 ÷ 131072     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87296 ÷ 217
    87296 ÷ 131072     		y = 0.666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666015625 × 2 - 1) × π
    -0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04310693573242))-π/2
    2×atan(0.352358225170011)-π/2
    2×0.338774141408772-π/2
    0.677548282817545-1.57079632675     		φ = -0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54528 KachelY 87296 -0.52768939 -0.89324804 -30.234375 -51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 54529 KachelY 87296 -0.52764145 -0.89324804 -30.231628 -51.179343
    Unten links KachelX 54528 KachelY + 1 87297 -0.52768939 -0.89327809 -30.234375 -51.181064
    Unten rechts KachelX + 1 54529 KachelY + 1 87297 -0.52764145 -0.89327809 -30.231628 -51.181064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89324804--0.89327809) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89324804--0.89327809) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.52764145) × cos(-0.89324804) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 191.466738914696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.52764145) × cos(-0.89327809) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.626861338222872 × 6371000     		du = 191.459588104429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89324804)-sin(-0.89327809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.626861338222872)×R²
    abs(-0.52764145--0.52768939)×2.34125986481315e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.34125986481315e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.34125986481315e-05×40589641000000     		ar = 36655.3450351059m²