Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5456 / 1360
↖ ↑ ↗
← N 76.016094°
E 59.765625°		 ← 1 180.82 m → N 76.016094°
E 59.809571°		 →
↑
1 181.25 m
↓
↑
1 181.25 m
↓
N 76.005471°
E 59.765625°		 ← 1 181.70 m →
1 395 357 m²		 N 76.005471°
E 59.809571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66607666015625 y=0.16607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66607666015625 × 213)
    floor (0.66607666015625 × 8192)
    floor (5456.5)     		tx = 5456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16607666015625 × 213)
    floor (0.16607666015625 × 8192)
    floor (1360.5)     		ty = 1360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5456 / 1360 ti = "13/5456/1360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5456/1360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5456 ÷ 213
    5456 ÷ 8192     		x = 0.666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1360 ÷ 213
    1360 ÷ 8192     		y = 0.166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.666015625 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.04310694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166015625 × 2 - 1) × π
    0.66796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09848571776758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.04310694} λ = 1.04310694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09848571776758))-π/2
    2×atan(8.1538133845587)-π/2
    2×1.44876372286263-π/2
    2.89752744572527-1.57079632675     		φ = 1.32673112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.04310694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32673112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.016094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5456 KachelY 1360 1.04310694 1.32673112 59.765625 76.016094
    Oben rechts KachelX + 1 5457 KachelY 1360 1.04387393 1.32673112 59.809571 76.016094
    Unten links KachelX 5456 KachelY + 1 1361 1.04310694 1.32654571 59.765625 76.005471
    Unten rechts KachelX + 1 5457 KachelY + 1 1361 1.04387393 1.32654571 59.809571 76.005471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32673112-1.32654571) × R
    0.000185410000000052 × 6371000     		dl = 1181.24711000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32673112-1.32654571) × R
    0.000185410000000052 × 6371000     		dr = 1181.24711000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.04310694-1.04387393) × cos(1.32673112) × R
    0.000766990000000023 × 0.241649341163748 × 6371000     		do = 1180.81788412961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.04310694-1.04387393) × cos(1.32654571) × R
    0.000766990000000023 × 0.241829252131835 × 6371000     		du = 1181.69701786796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32673112)-sin(1.32654571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241649341163748-0.241829252131835)×R²
    abs(1.04387393-1.04310694)×0.000179910968086699×R²
    0.000766990000000023×0.000179910968086699×6371000²
    0.000766990000000023×0.000179910968086699×40589641000000     		ar = 1395356.95415527m²