Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54784 / 87552
↖ ↑ ↗
← S 51.618016°
W 29.531250°		 ← 189.60 m → S 51.618016°
W 29.528504°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
S 51.619722°
W 29.531250°		 ← 189.59 m →
35 960 m²		 S 51.619722°
W 29.528504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417972564697266 y=0.667972564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417972564697266 × 217)
    floor (0.417972564697266 × 131072)
    floor (54784.5)     		tx = 54784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667972564697266 × 217)
    floor (0.667972564697266 × 131072)
    floor (87552.5)     		ty = 87552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54784 / 87552 ti = "17/54784/87552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54784/87552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54784 ÷ 217
    54784 ÷ 131072     		x = 0.41796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87552 ÷ 217
    87552 ÷ 131072     		y = 0.66796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41796875 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66796875 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51541754} λ = -0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05537878203516))-π/2
    2×atan(0.348060563245402)-π/2
    2×0.334945992344302-π/2
    0.669891984688605-1.57079632675     		φ = -0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54784 KachelY 87552 -0.51541754 -0.90090434 -29.531250 -51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 54785 KachelY 87552 -0.51536961 -0.90090434 -29.528504 -51.618016
    Unten links KachelX 54784 KachelY + 1 87553 -0.51541754 -0.90093411 -29.531250 -51.619722
    Unten rechts KachelX + 1 54785 KachelY + 1 87553 -0.51536961 -0.90093411 -29.528504 -51.619722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90090434--0.90093411) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90090434--0.90093411) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51541754--0.51536961) × cos(-0.90090434) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 189.599687603459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51541754--0.51536961) × cos(-0.90093411) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.620877983681082 × 6371000     		du = 189.592561478839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90090434)-sin(-0.90093411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.620877983681082)×R²
    abs(-0.51536961--0.51541754)×2.33366428049608e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.33366428049608e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.33366428049608e-05×40589641000000     		ar = 35959.6863971163m²