Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5506 / 1410
↖ ↑ ↗
← N 75.475130°
E 61.962891°		 ← 1 225.53 m → N 75.475130°
E 62.006836°		 →
↑
1 225.97 m
↓
↑
1 225.97 m
↓
N 75.464105°
E 61.962891°		 ← 1 226.44 m →
1 503 027 m²		 N 75.464105°
E 62.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67218017578125 y=0.17218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67218017578125 × 213)
    floor (0.67218017578125 × 8192)
    floor (5506.5)     		tx = 5506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17218017578125 × 213)
    floor (0.17218017578125 × 8192)
    floor (1410.5)     		ty = 1410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5506 / 1410 ti = "13/5506/1410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5506/1410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5506 ÷ 213
    5506 ÷ 8192     		x = 0.672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1410 ÷ 213
    1410 ÷ 8192     		y = 0.172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.672119140625 × 2 - 1) × π
    0.34423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.08145646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172119140625 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06013619807153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08145646} λ = 1.08145646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06013619807153))-π/2
    2×atan(7.84703848905026)-π/2
    2×1.44404293035468-π/2
    2.88808586070937-1.57079632675     		φ = 1.31728953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08145646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31728953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.475130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5506 KachelY 1410 1.08145646 1.31728953 61.962891 75.475130
    Oben rechts KachelX + 1 5507 KachelY 1410 1.08222345 1.31728953 62.006836 75.475130
    Unten links KachelX 5506 KachelY + 1 1411 1.08145646 1.31709710 61.962891 75.464105
    Unten rechts KachelX + 1 5507 KachelY + 1 1411 1.08222345 1.31709710 62.006836 75.464105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31728953-1.31709710) × R
    0.000192430000000021 × 6371000     		dl = 1225.97153000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31728953-1.31709710) × R
    0.000192430000000021 × 6371000     		dr = 1225.97153000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08145646-1.08222345) × cos(1.31728953) × R
    0.000766990000000023 × 0.250800210026571 × 6371000     		do = 1225.53354342547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08145646-1.08222345) × cos(1.31709710) × R
    0.000766990000000023 × 0.250986485101779 × 6371000     		du = 1226.44377533056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31728953)-sin(1.31709710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250800210026571-0.250986485101779)×R²
    abs(1.08222345-1.08145646)×0.000186275075207298×R²
    0.000766990000000023×0.000186275075207298×6371000²
    0.000766990000000023×0.000186275075207298×40589641000000     		ar = 1503027.19713946m²