Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5508 / 1412
↖ ↑ ↗
← N 75.453072°
E 62.050781°		 ← 1 227.35 m → N 75.453072°
E 62.094727°		 →
↑
1 227.82 m
↓
↑
1 227.82 m
↓
N 75.442030°
E 62.050781°		 ← 1 228.27 m →
1 507 529 m²		 N 75.442030°
E 62.094727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67242431640625 y=0.17242431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67242431640625 × 213)
    floor (0.67242431640625 × 8192)
    floor (5508.5)     		tx = 5508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17242431640625 × 213)
    floor (0.17242431640625 × 8192)
    floor (1412.5)     		ty = 1412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5508 / 1412 ti = "13/5508/1412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5508/1412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5508 ÷ 213
    5508 ÷ 8192     		x = 0.67236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1412 ÷ 213
    1412 ÷ 8192     		y = 0.17236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67236328125 × 2 - 1) × π
    0.3447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.08299044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17236328125 × 2 - 1) × π
    0.6552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05860221728369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08299044} λ = 1.08299044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05860221728369))-π/2
    2×atan(7.83501051046922)-π/2
    2×1.44385042611595-π/2
    2.88770085223191-1.57079632675     		φ = 1.31690453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08299044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31690453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.453072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5508 KachelY 1412 1.08299044 1.31690453 62.050781 75.453072
    Oben rechts KachelX + 1 5509 KachelY 1412 1.08375743 1.31690453 62.094727 75.453072
    Unten links KachelX 5508 KachelY + 1 1413 1.08299044 1.31671181 62.050781 75.442030
    Unten rechts KachelX + 1 5509 KachelY + 1 1413 1.08375743 1.31671181 62.094727 75.442030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31690453-1.31671181) × R
    0.000192720000000035 × 6371000     		dl = 1227.81912000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31690453-1.31671181) × R
    0.000192720000000035 × 6371000     		dr = 1227.81912000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08299044-1.08375743) × cos(1.31690453) × R
    0.000766989999999801 × 0.251172886395047 × 6371000     		do = 1227.35462399901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08299044-1.08375743) × cos(1.31671181) × R
    0.000766989999999801 × 0.251359423558095 × 6371000     		du = 1228.26613659458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31690453)-sin(1.31671181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251172886395047-0.251359423558095)×R²
    abs(1.08375743-1.08299044)×0.000186537163048117×R²
    0.000766989999999801×0.000186537163048117×6371000²
    0.000766989999999801×0.000186537163048117×40589641000000     		ar = 1507529.06532644m²