Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5520 / 1424
↖ ↑ ↗
← N 75.320025°
E 62.578125°		 ← 1 238.33 m → N 75.320025°
E 62.622070°		 →
↑
1 238.78 m
↓
↑
1 238.78 m
↓
N 75.308884°
E 62.578125°		 ← 1 239.25 m →
1 534 590 m²		 N 75.308884°
E 62.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67388916015625 y=0.17388916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67388916015625 × 213)
    floor (0.67388916015625 × 8192)
    floor (5520.5)     		tx = 5520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17388916015625 × 213)
    floor (0.17388916015625 × 8192)
    floor (1424.5)     		ty = 1424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5520 / 1424 ti = "13/5520/1424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5520/1424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5520 ÷ 213
    5520 ÷ 8192     		x = 0.673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1424 ÷ 213
    1424 ÷ 8192     		y = 0.173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.673828125 × 2 - 1) × π
    0.34765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.09219432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173828125 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04939833255664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.09219432} λ = 1.09219432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04939833255664))-π/2
    2×atan(7.76322881883045)-π/2
    2×1.44268937988364-π/2
    2.88537875976729-1.57079632675     		φ = 1.31458243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.09219432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31458243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.320025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5520 KachelY 1424 1.09219432 1.31458243 62.578125 75.320025
    Oben rechts KachelX + 1 5521 KachelY 1424 1.09296131 1.31458243 62.622070 75.320025
    Unten links KachelX 5520 KachelY + 1 1425 1.09219432 1.31438799 62.578125 75.308884
    Unten rechts KachelX + 1 5521 KachelY + 1 1425 1.09296131 1.31438799 62.622070 75.308884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31458243-1.31438799) × R
    0.000194440000000018 × 6371000     		dl = 1238.77724000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31458243-1.31438799) × R
    0.000194440000000018 × 6371000     		dr = 1238.77724000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.09219432-1.09296131) × cos(1.31458243) × R
    0.000766990000000023 × 0.25341986587156 × 6371000     		do = 1238.33447413412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.09219432-1.09296131) × cos(1.31438799) × R
    0.000766990000000023 × 0.253607953854959 × 6371000     		du = 1239.25356480292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31458243)-sin(1.31438799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25341986587156-0.253607953854959)×R²
    abs(1.09296131-1.09219432)×0.000188087983398866×R²
    0.000766990000000023×0.000188087983398866×6371000²
    0.000766990000000023×0.000188087983398866×40589641000000     		ar = 1534589.84119961m²