Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5520 / 912
↖ ↑ ↗
← N 80.058050°
E 62.578125°		 ← 843.65 m → N 80.058050°
E 62.622070°		 →
↑
843.97 m
↓
↑
843.97 m
↓
N 80.050460°
E 62.578125°		 ← 844.29 m →
712 285 m²		 N 80.050460°
E 62.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67388916015625 y=0.11138916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67388916015625 × 213)
    floor (0.67388916015625 × 8192)
    floor (5520.5)     		tx = 5520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11138916015625 × 213)
    floor (0.11138916015625 × 8192)
    floor (912.5)     		ty = 912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5520 / 912 ti = "13/5520/912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5520/912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5520 ÷ 213
    5520 ÷ 8192     		x = 0.673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 912 ÷ 213
    912 ÷ 8192     		y = 0.111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.673828125 × 2 - 1) × π
    0.34765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.09219432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111328125 × 2 - 1) × π
    0.77734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44209741424414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.09219432} λ = 1.09219432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44209741424414))-π/2
    2×atan(11.4971297153185)-π/2
    2×1.48403644218364-π/2
    2.96807288436728-1.57079632675     		φ = 1.39727656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.09219432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39727656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.058050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5520 KachelY 912 1.09219432 1.39727656 62.578125 80.058050
    Oben rechts KachelX + 1 5521 KachelY 912 1.09296131 1.39727656 62.622070 80.058050
    Unten links KachelX 5520 KachelY + 1 913 1.09219432 1.39714409 62.578125 80.050460
    Unten rechts KachelX + 1 5521 KachelY + 1 913 1.09296131 1.39714409 62.622070 80.050460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39727656-1.39714409) × R
    0.000132469999999829 × 6371000     		dl = 843.966369998911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39727656-1.39714409) × R
    0.000132469999999829 × 6371000     		dr = 843.966369998911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.09219432-1.09296131) × cos(1.39727656) × R
    0.000766990000000023 × 0.172650322461766 × 6371000     		do = 843.65464222578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.09219432-1.09296131) × cos(1.39714409) × R
    0.000766990000000023 × 0.172780801668464 × 6371000     		du = 844.292227993797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39727656)-sin(1.39714409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172650322461766-0.172780801668464)×R²
    abs(1.09296131-1.09219432)×0.00013047920669837×R²
    0.000766990000000023×0.00013047920669837×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013047920669837×40589641000000     		ar = 712285.197445391m²