Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55298 / 79874
↖ ↑ ↗
← S 36.602299°
W 28.119507°		 ← 245.19 m → S 36.602299°
W 28.116760°		 →
↑
245.22 m
↓
↑
245.22 m
↓
S 36.604504°
W 28.119507°		 ← 245.19 m →
60 126 m²		 S 36.604504°
W 28.116760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421894073486328 y=0.609394073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421894073486328 × 217)
    floor (0.421894073486328 × 131072)
    floor (55298.5)     		tx = 55298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609394073486328 × 217)
    floor (0.609394073486328 × 131072)
    floor (79874.5)     		ty = 79874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55298 / 79874 ti = "17/55298/79874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55298/79874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55298 ÷ 217
    55298 ÷ 131072     		x = 0.421890258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79874 ÷ 217
    79874 ÷ 131072     		y = 0.609390258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421890258789062 × 2 - 1) × π
    -0.156219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49077798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609390258789062 × 2 - 1) × π
    -0.218780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.687319266752365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49077798} λ = -0.49077798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687319266752365))-π/2
    2×atan(0.502922464567909)-π/2
    2×0.465982846545625-π/2
    0.931965693091249-1.57079632675     		φ = -0.63883063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49077798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.119507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63883063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.602299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55298 KachelY 79874 -0.49077798 -0.63883063 -28.119507 -36.602299
    Oben rechts KachelX + 1 55299 KachelY 79874 -0.49073004 -0.63883063 -28.116760 -36.602299
    Unten links KachelX 55298 KachelY + 1 79875 -0.49077798 -0.63886912 -28.119507 -36.604504
    Unten rechts KachelX + 1 55299 KachelY + 1 79875 -0.49073004 -0.63886912 -28.116760 -36.604504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63883063--0.63886912) × R
    3.84900000000021e-05 × 6371000     		dl = 245.219790000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63883063--0.63886912) × R
    3.84900000000021e-05 × 6371000     		dr = 245.219790000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49077798--0.49073004) × cos(-0.63883063) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.80279355175509 × 6371000     		do = 245.19381461215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49077798--0.49073004) × cos(-0.63886912) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.802770601225173 × 6371000     		du = 245.186804929566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63883063)-sin(-0.63886912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.80279355175509-0.802770601225173)×R²
    abs(-0.49073004--0.49077798)×2.29505299169652e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29505299169652e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29505299169652e-05×40589641000000     		ar = 60125.5162792991m²