Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55328 / 88096
↖ ↑ ↗
← S 52.536273°
W 28.037109°		 ← 185.78 m → S 52.536273°
W 28.034363°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
S 52.537944°
W 28.037109°		 ← 185.77 m →
34 513 m²		 S 52.537944°
W 28.034363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422122955322266 y=0.672122955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422122955322266 × 217)
    floor (0.422122955322266 × 131072)
    floor (55328.5)     		tx = 55328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672122955322266 × 217)
    floor (0.672122955322266 × 131072)
    floor (88096.5)     		ty = 88096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55328 / 88096 ti = "17/55328/88096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55328/88096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55328 ÷ 217
    55328 ÷ 131072     		x = 0.422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88096 ÷ 217
    88096 ÷ 131072     		y = 0.672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.34423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08145645542847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48933987} λ = -0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08145645542847))-π/2
    2×atan(0.339101279908942)-π/2
    2×0.326932692756747-π/2
    0.653865385513495-1.57079632675     		φ = -0.91693094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91693094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.536273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55328 KachelY 88096 -0.48933987 -0.91693094 -28.037109 -52.536273
    Oben rechts KachelX + 1 55329 KachelY 88096 -0.48929193 -0.91693094 -28.034363 -52.536273
    Unten links KachelX 55328 KachelY + 1 88097 -0.48933987 -0.91696010 -28.037109 -52.537944
    Unten rechts KachelX + 1 55329 KachelY + 1 88097 -0.48929193 -0.91696010 -28.034363 -52.537944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91693094--0.91696010) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91693094--0.91696010) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48933987--0.48929193) × cos(-0.91693094) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608259048771312 × 6371000     		do = 185.777970082767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48933987--0.48929193) × cos(-0.91696010) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608235903095789 × 6371000     		du = 185.770900797693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91693094)-sin(-0.91696010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608259048771312-0.608235903095789)×R²
    abs(-0.48929193--0.48933987)×2.31456755228621e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31456755228621e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31456755228621e-05×40589641000000     		ar = 34512.8699484348m²