Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55424 / 80000
↖ ↑ ↗
← S 36.879621°
W 27.773438°		 ← 244.31 m → S 36.879621°
W 27.770691°		 →
↑
244.26 m
↓
↑
244.26 m
↓
S 36.881818°
W 27.773438°		 ← 244.30 m →
59 675 m²		 S 36.881818°
W 27.770691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422855377197266 y=0.610355377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422855377197266 × 217)
    floor (0.422855377197266 × 131072)
    floor (55424.5)     		tx = 55424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610355377197266 × 217)
    floor (0.610355377197266 × 131072)
    floor (80000.5)     		ty = 80000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55424 / 80000 ti = "17/55424/80000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55424/80000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55424 ÷ 217
    55424 ÷ 131072     		x = 0.4228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80000 ÷ 217
    80000 ÷ 131072     		y = 0.6103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48473793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6103515625 × 2 - 1) × π
    -0.220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.693359316104492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48473793} λ = -0.48473793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.693359316104492))-π/2
    2×atan(0.499893943477303)-π/2
    2×0.463562760183344-π/2
    0.927125520366688-1.57079632675     		φ = -0.64367081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48473793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64367081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.879621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55424 KachelY 80000 -0.48473793 -0.64367081 -27.773438 -36.879621
    Oben rechts KachelX + 1 55425 KachelY 80000 -0.48468999 -0.64367081 -27.770691 -36.879621
    Unten links KachelX 55424 KachelY + 1 80001 -0.48473793 -0.64370915 -27.773438 -36.881818
    Unten rechts KachelX + 1 55425 KachelY + 1 80001 -0.48468999 -0.64370915 -27.770691 -36.881818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64367081--0.64370915) × R
    3.83399999999146e-05 × 6371000     		dl = 244.264139999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64367081--0.64370915) × R
    3.83399999999146e-05 × 6371000     		dr = 244.264139999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48473793--0.48468999) × cos(-0.64367081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.79989816775706 × 6371000     		do = 244.309489811684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48473793--0.48468999) × cos(-0.64370915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.799875157964414 × 6371000     		du = 244.302462028738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64367081)-sin(-0.64370915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79989816775706-0.799875157964414)×R²
    abs(-0.48468999--0.48473793)×2.30097926459116e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30097926459116e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30097926459116e-05×40589641000000     		ar = 59675.1891121641m²