Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 560 / 1584
↖ ↑ ↗
← N 37.718590°
W130.781250°		 ← 7 730.68 m → N 37.718590°
W130.693359°		 →
↑
7 734.33 m
↓
↑
7 734.33 m
↓
N 37.649034°
W130.781250°		 ← 7 737.93 m →
59 819 667 m²		 N 37.649034°
W130.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1368408203125 y=0.3868408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1368408203125 × 212)
    floor (0.1368408203125 × 4096)
    floor (560.5)     		tx = 560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3868408203125 × 212)
    floor (0.3868408203125 × 4096)
    floor (1584.5)     		ty = 1584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 560 / 1584 ti = "12/560/1584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/560/1584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 560 ÷ 212
    560 ÷ 4096     		x = 0.13671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1584 ÷ 212
    1584 ÷ 4096     		y = 0.38671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13671875 × 2 - 1) × π
    -0.7265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28256341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38671875 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28256341} λ = -2.28256341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.711767085558594))-π/2
    2×atan(2.03758867275937)-π/2
    2×1.1145549585856-π/2
    2.2291099171712-1.57079632675     		φ = 0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28256341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 560 KachelY 1584 -2.28256341 0.65831359 -130.781250 37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 561 KachelY 1584 -2.28102943 0.65831359 -130.693359 37.718590
    Unten links KachelX 560 KachelY + 1 1585 -2.28256341 0.65709960 -130.781250 37.649034
    Unten rechts KachelX + 1 561 KachelY + 1 1585 -2.28102943 0.65709960 -130.693359 37.649034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65831359-0.65709960) × R
    0.00121399 × 6371000     		dl = 7734.33028999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65831359-0.65709960) × R
    0.00121399 × 6371000     		dr = 7734.33028999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28256341--2.28102943) × cos(0.65831359) × R
    0.00153398000000005 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 7730.67743301063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28256341--2.28102943) × cos(0.65709960) × R
    0.00153398000000005 × 0.791767190290122 × 6371000     		du = 7737.9301251899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65831359)-sin(0.65709960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.791767190290122)×R²
    abs(-2.28102943--2.28256341)×0.000742116252785974×R²
    0.00153398000000005×0.000742116252785974×6371000²
    0.00153398000000005×0.000742116252785974×40589641000000     		ar = 59819667.3374743m²