Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5632 / 1535
↖ ↑ ↗
← N 74.031637°
E 67.500000°		 ← 1 344.31 m → N 74.031637°
E 67.543946°		 →
↑
1 344.79 m
↓
↑
1 344.79 m
↓
N 74.019543°
E 67.500000°		 ← 1 345.30 m →
1 808 477 m²		 N 74.019543°
E 67.543946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68756103515625 y=0.18743896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68756103515625 × 213)
    floor (0.68756103515625 × 8192)
    floor (5632.5)     		tx = 5632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18743896484375 × 213)
    floor (0.18743896484375 × 8192)
    floor (1535.5)     		ty = 1535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5632 / 1535 ti = "13/5632/1535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5632/1535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5632 ÷ 213
    5632 ÷ 8192     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1535 ÷ 213
    1535 ÷ 8192     		y = 0.1873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1873779296875 × 2 - 1) × π
    0.625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96426239883142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96426239883142))-π/2
    2×atan(7.12965181071128)-π/2
    2×1.43144607513282-π/2
    2.86289215026564-1.57079632675     		φ = 1.29209582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29209582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.031637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5632 KachelY 1535 1.17809725 1.29209582 67.500000 74.031637
    Oben rechts KachelX + 1 5633 KachelY 1535 1.17886424 1.29209582 67.543946 74.031637
    Unten links KachelX 5632 KachelY + 1 1536 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 5633 KachelY + 1 1536 1.17886424 1.29188474 67.543946 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29209582-1.29188474) × R
    0.000211079999999919 × 6371000     		dl = 1344.79067999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29209582-1.29188474) × R
    0.000211079999999919 × 6371000     		dr = 1344.79067999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17886424) × cos(1.29209582) × R
    0.000766990000000023 × 0.275106530565343 × 6371000     		do = 1344.30621564277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17886424) × cos(1.29188474) × R
    0.000766990000000023 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 1345.29782725001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29209582)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275106530565343-0.275309459649329)×R²
    abs(1.17886424-1.17809725)×0.000202929083986447×R²
    0.000766990000000023×0.000202929083986447×6371000²
    0.000766990000000023×0.000202929083986447×40589641000000     		ar = 1808477.23160015m²