Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5632 / 3584
↖ ↑ ↗
← N 21.943045°
E 67.500000°		 ← 4 532.50 m → N 21.943045°
E 67.543946°		 →
↑
4 533.16 m
↓
↑
4 533.16 m
↓
N 21.902278°
E 67.500000°		 ← 4 533.79 m →
20 549 458 m²		 N 21.902278°
E 67.543946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68756103515625 y=0.43756103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68756103515625 × 213)
    floor (0.68756103515625 × 8192)
    floor (5632.5)     		tx = 5632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43756103515625 × 213)
    floor (0.43756103515625 × 8192)
    floor (3584.5)     		ty = 3584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5632 / 3584 ti = "13/5632/3584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5632/3584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5632 ÷ 213
    5632 ÷ 8192     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3584 ÷ 213
    3584 ÷ 8192     		y = 0.4375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4375 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3926990816875))-π/2
    2×atan(1.48097267047329)-π/2
    2×0.976887359629009-π/2
    1.95377471925802-1.57079632675     		φ = 0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5632 KachelY 3584 1.17809725 0.38297839 67.500000 21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 5633 KachelY 3584 1.17886424 0.38297839 67.543946 21.943045
    Unten links KachelX 5632 KachelY + 1 3585 1.17809725 0.38226686 67.500000 21.902278
    Unten rechts KachelX + 1 5633 KachelY + 1 3585 1.17886424 0.38226686 67.543946 21.902278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38297839-0.38226686) × R
    0.000711530000000016 × 6371000     		dl = 4533.1576300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38297839-0.38226686) × R
    0.000711530000000016 × 6371000     		dr = 4533.1576300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17886424) × cos(0.38297839) × R
    0.000766990000000023 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 4532.49505790232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17886424) × cos(0.38226686) × R
    0.000766990000000023 × 0.927821425479114 × 6371000     		du = 4533.79316992206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38297839)-sin(0.38226686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.927821425479114)×R²
    abs(1.17886424-1.17809725)×0.000265653085494311×R²
    0.000766990000000023×0.000265653085494311×6371000²
    0.000766990000000023×0.000265653085494311×40589641000000     		ar = 20549457.6948431m²