Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5632 / 9727
↖ ↑ ↗
← S 31.933517°
W 56.250000°		 ← 2 073.46 m → S 31.933517°
W 56.228027°		 →
↑
2 073.25 m
↓
↑
2 073.25 m
↓
S 31.952162°
W 56.250000°		 ← 2 073.04 m →
4 298 376 m²		 S 31.952162°
W 56.228027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343780517578125 y=0.593719482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343780517578125 × 214)
    floor (0.343780517578125 × 16384)
    floor (5632.5)     		tx = 5632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593719482421875 × 214)
    floor (0.593719482421875 × 16384)
    floor (9727.5)     		ty = 9727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5632 / 9727 ti = "14/5632/9727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5632/9727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5632 ÷ 214
    5632 ÷ 16384     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9727 ÷ 214
    9727 ÷ 16384     		y = 0.59368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58866512733429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58866512733429))-π/2
    2×atan(0.555067735168329)-π/2
    2×0.506725658786579-π/2
    1.01345131757316-1.57079632675     		φ = -0.55734501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55734501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.933517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5632 KachelY 9727 -0.98174770 -0.55734501 -56.250000 -31.933517
    Oben rechts KachelX + 1 5633 KachelY 9727 -0.98136421 -0.55734501 -56.228027 -31.933517
    Unten links KachelX 5632 KachelY + 1 9728 -0.98174770 -0.55767043 -56.250000 -31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 5633 KachelY + 1 9728 -0.98136421 -0.55767043 -56.228027 -31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55734501--0.55767043) × R
    0.000325420000000021 × 6371000     		dl = 2073.25082000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55734501--0.55767043) × R
    0.000325420000000021 × 6371000     		dr = 2073.25082000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.98136421) × cos(-0.55734501) × R
    0.000383490000000042 × 0.8486624172632 × 6371000     		do = 2073.46456957483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.98136421) × cos(-0.55767043) × R
    0.000383490000000042 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 2073.04391903731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55734501)-sin(-0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8486624172632-0.848490246343458)×R²
    abs(-0.98136421--0.98174770)×0.000172170919741865×R²
    0.000383490000000042×0.000172170919741865×6371000²
    0.000383490000000042×0.000172170919741865×40589641000000     		ar = 4298376.1000077m²