Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56320 / 89088
↖ ↑ ↗
← S 54.162434°
W 25.312500°		 ← 178.82 m → S 54.162434°
W 25.309753°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
S 54.164042°
W 25.312500°		 ← 178.82 m →
31 979 m²		 S 54.164042°
W 25.309753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429691314697266 y=0.679691314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429691314697266 × 217)
    floor (0.429691314697266 × 131072)
    floor (56320.5)     		tx = 56320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679691314697266 × 217)
    floor (0.679691314697266 × 131072)
    floor (89088.5)     		ty = 89088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56320 / 89088 ti = "17/56320/89088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56320/89088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56320 ÷ 217
    56320 ÷ 131072     		x = 0.4296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89088 ÷ 217
    89088 ÷ 131072     		y = 0.6796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4296875 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6796875 × 2 - 1) × π
    -0.359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44178647} λ = -0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12900985985156))-π/2
    2×atan(0.323353263018262)-π/2
    2×0.312741761588495-π/2
    0.62548352317699-1.57079632675     		φ = -0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56320 KachelY 89088 -0.44178647 -0.94531280 -25.312500 -54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 56321 KachelY 89088 -0.44173853 -0.94531280 -25.309753 -54.162434
    Unten links KachelX 56320 KachelY + 1 89089 -0.44178647 -0.94534087 -25.312500 -54.164042
    Unten rechts KachelX + 1 56321 KachelY + 1 89089 -0.44173853 -0.94534087 -25.309753 -54.164042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94531280--0.94534087) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dl = 178.833970000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94531280--0.94534087) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dr = 178.833970000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44178647--0.44173853) × cos(-0.94531280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 178.823510938298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44178647--0.44173853) × cos(-0.94534087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585466570904332 × 6371000     		du = 178.816560663601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94531280)-sin(-0.94534087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.585466570904332)×R²
    abs(-0.44173853--0.44178647)×2.2756021472059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2756021472059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2756021472059e-05×40589641000000     		ar = 31979.0969199989m²