Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5633 / 11775
↖ ↑ ↗
← S 61.595946°
W 56.228027°		 ← 1 162.23 m → S 61.595946°
W 56.206054°		 →
↑
1 162.07 m
↓
↑
1 162.07 m
↓
S 61.606397°
W 56.228027°		 ← 1 161.84 m →
1 350 371 m²		 S 61.606397°
W 56.206054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343841552734375 y=0.718719482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343841552734375 × 214)
    floor (0.343841552734375 × 16384)
    floor (5633.5)     		tx = 5633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718719482421875 × 214)
    floor (0.718719482421875 × 16384)
    floor (11775.5)     		ty = 11775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5633 / 11775 ti = "14/5633/11775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5633/11775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5633 ÷ 214
    5633 ÷ 16384     		x = 0.34381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11775 ÷ 214
    11775 ÷ 16384     		y = 0.71868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.3123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98136421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.4373779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37406329070929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98136421} λ = -0.98136421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37406329070929))-π/2
    2×atan(0.253076543961641)-π/2
    2×0.247872131273101-π/2
    0.495744262546203-1.57079632675     		φ = -1.07505206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98136421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07505206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.595946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5633 KachelY 11775 -0.98136421 -1.07505206 -56.228027 -61.595946
    Oben rechts KachelX + 1 5634 KachelY 11775 -0.98098071 -1.07505206 -56.206054 -61.595946
    Unten links KachelX 5633 KachelY + 1 11776 -0.98136421 -1.07523446 -56.228027 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 5634 KachelY + 1 11776 -0.98098071 -1.07523446 -56.206054 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07505206--1.07523446) × R
    0.000182399999999916 × 6371000     		dl = 1162.07039999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07505206--1.07523446) × R
    0.000182399999999916 × 6371000     		dr = 1162.07039999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98136421--0.98098071) × cos(-1.07505206) × R
    0.000383499999999981 × 0.475686451133903 × 6371000     		do = 1162.23447879671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98136421--0.98098071) × cos(-1.07523446) × R
    0.000383499999999981 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 1161.84245556094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07505206)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475686451133903-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.98098071--0.98136421)×0.000160449672750584×R²
    0.000383499999999981×0.000160449672750584×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160449672750584×40589641000000     		ar = 1350370.51011444m²