Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5634 / 9730
↖ ↑ ↗
← S 31.989442°
W 56.206054°		 ← 2 072.20 m → S 31.989442°
W 56.184082°		 →
↑
2 071.98 m
↓
↑
2 071.98 m
↓
S 32.008076°
W 56.206054°		 ← 2 071.78 m →
4 293 118 m²		 S 32.008076°
W 56.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343902587890625 y=0.593902587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343902587890625 × 214)
    floor (0.343902587890625 × 16384)
    floor (5634.5)     		tx = 5634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593902587890625 × 214)
    floor (0.593902587890625 × 16384)
    floor (9730.5)     		ty = 9730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5634 / 9730 ti = "14/5634/9730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5634/9730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5634 ÷ 214
    5634 ÷ 16384     		x = 0.3438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9730 ÷ 214
    9730 ÷ 16384     		y = 0.5938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98098071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.589815612925171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98098071} λ = -0.98098071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589815612925171))-π/2
    2×atan(0.55442950494479)-π/2
    2×0.506237620431107-π/2
    1.01247524086221-1.57079632675     		φ = -0.55832109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98098071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.206054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55832109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.989442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5634 KachelY 9730 -0.98098071 -0.55832109 -56.206054 -31.989442
    Oben rechts KachelX + 1 5635 KachelY 9730 -0.98059722 -0.55832109 -56.184082 -31.989442
    Unten links KachelX 5634 KachelY + 1 9731 -0.98098071 -0.55864631 -56.206054 -32.008076
    Unten rechts KachelX + 1 5635 KachelY + 1 9731 -0.98059722 -0.55864631 -56.184082 -32.008076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55832109--0.55864631) × R
    0.000325220000000015 × 6371000     		dl = 2071.9766200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55832109--0.55864631) × R
    0.000325220000000015 × 6371000     		dr = 2071.9766200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98098071--0.98059722) × cos(-0.55832109) × R
    0.000383489999999931 × 0.848145730318861 × 6371000     		do = 2072.20219239002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98098071--0.98059722) × cos(-0.55864631) × R
    0.000383489999999931 × 0.847973395950598 × 6371000     		du = 2071.78114251265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55832109)-sin(-0.55864631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848145730318861-0.847973395950598)×R²
    abs(-0.98059722--0.98098071)×0.000172334368262361×R²
    0.000383489999999931×0.000172334368262361×6371000²
    0.000383489999999931×0.000172334368262361×40589641000000     		ar = 4293118.32963283m²