Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5635 / 1541
↖ ↑ ↗
← N 73.958939°
E 67.631836°		 ← 1 350.27 m → N 73.958939°
E 67.675781°		 →
↑
1 350.72 m
↓
↑
1 350.72 m
↓
N 73.946791°
E 67.631836°		 ← 1 351.26 m →
1 824 498 m²		 N 73.946791°
E 67.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68792724609375 y=0.18817138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68792724609375 × 213)
    floor (0.68792724609375 × 8192)
    floor (5635.5)     		tx = 5635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18817138671875 × 213)
    floor (0.18817138671875 × 8192)
    floor (1541.5)     		ty = 1541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5635 / 1541 ti = "13/5635/1541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5635/1541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5635 ÷ 213
    5635 ÷ 8192     		x = 0.6878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1541 ÷ 213
    1541 ÷ 8192     		y = 0.1881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6878662109375 × 2 - 1) × π
    0.375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18039822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1881103515625 × 2 - 1) × π
    0.623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9596604564679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18039822} λ = 1.18039822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9596604564679))-π/2
    2×atan(7.09691694376308)-π/2
    2×1.43081166070401-π/2
    2.86162332140802-1.57079632675     		φ = 1.29082699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18039822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29082699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.958939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5635 KachelY 1541 1.18039822 1.29082699 67.631836 73.958939
    Oben rechts KachelX + 1 5636 KachelY 1541 1.18116521 1.29082699 67.675781 73.958939
    Unten links KachelX 5635 KachelY + 1 1542 1.18039822 1.29061498 67.631836 73.946791
    Unten rechts KachelX + 1 5636 KachelY + 1 1542 1.18116521 1.29061498 67.675781 73.946791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29082699-1.29061498) × R
    0.00021201000000004 × 6371000     		dl = 1350.71571000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29082699-1.29061498) × R
    0.00021201000000004 × 6371000     		dr = 1350.71571000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18039822-1.18116521) × cos(1.29082699) × R
    0.000766990000000023 × 0.276326179394178 × 6371000     		do = 1350.26602146103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18039822-1.18116521) × cos(1.29061498) × R
    0.000766990000000023 × 0.276529928342407 × 6371000     		du = 1351.26163932939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29082699)-sin(1.29061498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276326179394178-0.276529928342407)×R²
    abs(1.18116521-1.18039822)×0.000203748948228555×R²
    0.000766990000000023×0.000203748948228555×6371000²
    0.000766990000000023×0.000203748948228555×40589641000000     		ar = 1824497.93304945m²