Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5639 / 1543
↖ ↑ ↗
← N 73.934634°
E 67.807617°		 ← 1 352.26 m → N 73.934634°
E 67.851563°		 →
↑
1 352.75 m
↓
↑
1 352.75 m
↓
N 73.922469°
E 67.807617°		 ← 1 353.25 m →
1 829 947 m²		 N 73.922469°
E 67.851563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68841552734375 y=0.18841552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68841552734375 × 213)
    floor (0.68841552734375 × 8192)
    floor (5639.5)     		tx = 5639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18841552734375 × 213)
    floor (0.18841552734375 × 8192)
    floor (1543.5)     		ty = 1543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5639 / 1543 ti = "13/5639/1543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5639/1543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5639 ÷ 213
    5639 ÷ 8192     		x = 0.6883544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1543 ÷ 213
    1543 ÷ 8192     		y = 0.1883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6883544921875 × 2 - 1) × π
    0.376708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18346618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1883544921875 × 2 - 1) × π
    0.623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95812647568005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18346618} λ = 1.18346618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95812647568005))-π/2
    2×atan(7.08603875511776)-π/2
    2×1.43059956488549-π/2
    2.86119912977097-1.57079632675     		φ = 1.29040280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18346618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29040280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.934634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5639 KachelY 1543 1.18346618 1.29040280 67.807617 73.934634
    Oben rechts KachelX + 1 5640 KachelY 1543 1.18423317 1.29040280 67.851563 73.934634
    Unten links KachelX 5639 KachelY + 1 1544 1.18346618 1.29019047 67.807617 73.922469
    Unten rechts KachelX + 1 5640 KachelY + 1 1544 1.18423317 1.29019047 67.851563 73.922469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29040280-1.29019047) × R
    0.000212330000000094 × 6371000     		dl = 1352.7544300006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29040280-1.29019047) × R
    0.000212330000000094 × 6371000     		dr = 1352.7544300006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18346618-1.18423317) × cos(1.29040280) × R
    0.000766990000000023 × 0.27673382822203 × 6371000     		do = 1352.257994723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18346618-1.18423317) × cos(1.29019047) × R
    0.000766990000000023 × 0.276937859776176 × 6371000     		du = 1353.25499354328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29040280)-sin(1.29019047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27673382822203-0.276937859776176)×R²
    abs(1.18423317-1.18346618)×0.000204031554146×R²
    0.000766990000000023×0.000204031554146×6371000²
    0.000766990000000023×0.000204031554146×40589641000000     		ar = 1829947.34702288m²