Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5640 / 1544
↖ ↑ ↗
← N 73.922469°
E 67.851563°		 ← 1 353.25 m → N 73.922469°
E 67.895508°		 →
↑
1 353.71 m
↓
↑
1 353.71 m
↓
N 73.910294°
E 67.851563°		 ← 1 354.25 m →
1 832 590 m²		 N 73.910294°
E 67.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68853759765625 y=0.18853759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68853759765625 × 213)
    floor (0.68853759765625 × 8192)
    floor (5640.5)     		tx = 5640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18853759765625 × 213)
    floor (0.18853759765625 × 8192)
    floor (1544.5)     		ty = 1544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5640 / 1544 ti = "13/5640/1544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5640/1544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5640 ÷ 213
    5640 ÷ 8192     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1544 ÷ 213
    1544 ÷ 8192     		y = 0.1884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1884765625 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.95735948528613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95735948528613))-π/2
    2×atan(7.08060591519598)-π/2
    2×1.43049339967439-π/2
    2.86098679934878-1.57079632675     		φ = 1.29019047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29019047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.922469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5640 KachelY 1544 1.18423317 1.29019047 67.851563 73.922469
    Oben rechts KachelX + 1 5641 KachelY 1544 1.18500016 1.29019047 67.895508 73.922469
    Unten links KachelX 5640 KachelY + 1 1545 1.18423317 1.28997799 67.851563 73.910294
    Unten rechts KachelX + 1 5641 KachelY + 1 1545 1.18500016 1.28997799 67.895508 73.910294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29019047-1.28997799) × R
    0.00021248000000007 × 6371000     		dl = 1353.71008000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29019047-1.28997799) × R
    0.00021248000000007 × 6371000     		dr = 1353.71008000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18500016) × cos(1.29019047) × R
    0.000766990000000023 × 0.276937859776176 × 6371000     		do = 1353.25499354328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18500016) × cos(1.28997799) × R
    0.000766990000000023 × 0.277142022969195 × 6371000     		du = 1354.25263561604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29019047)-sin(1.28997799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276937859776176-0.277142022969195)×R²
    abs(1.18500016-1.18423317)×0.000204163193019358×R²
    0.000766990000000023×0.000204163193019358×6371000²
    0.000766990000000023×0.000204163193019358×40589641000000     		ar = 1832590.19153253m²